Контрольная работа по геометрии 7 класс «Прямоугольный треугольник» глава 4 параграфы 15-16 УМК «Математическая вертикаль» — ОТВЕТЫ на Вариант 4. Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: КР Прямоугольный треугольник Вариант 4.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Контрольная работа (баз.ур.)
«Прямоугольный треугольник»
ОТВЕТЫ на Вариант 4
№ 1. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите острые углы треугольника.
Решение.
1) Так как биссектриса угла делит его на две равные части, то ∠LCA = 90° : 2 = 45°, а ∠MCA = ∠LCA – ∠LCM = 45° – 14° = 31°.
2) Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то треугольник AMC – равнобедренный, поэтому ∠A = ∠ACM = 31°.
3) Следовательно, по теореме о сумме углов прямоугольного треугольника ∠B = 90° – ∠A = 90° – 31° = 59°.
Ответ. 31° и 59°.
№ 2. Докажите, что точка пересечения биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника и противолежащего катета равноудалена от гипотенузы и прилежащего катета.
Решение.
1) Пусть биссектриса AK острого угла A пересекается с катетом CB в точке K. Проведём перпендикуляр KP к гипотенузе AB, к катету AC перпендикуляр KC уже проведён.
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники KCA и KPA, в них есть общая гипотенуза AK, равные острые углы CAK и BAK по определению биссектрисы угла, значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
3) В равных треугольниках равны соответственные элементы – катеты KC и KP, т. е. равны расстояния от точки K до катета AC и гипотенузы AB.
№ 3. В равнобедренном треугольнике ABC, в котором ∠B = 140°, на продолжении стороны AB отметили точку D так, что отрезок BD равен отрезку AB. Определите вид треугольника ADC и найдите его углы.
Решение.
1) Так как ΔABC равнобедренный с тупым углом, то этот угол не может прилежать к его основанию, следовательно, углы при основании будут равны (180° – 140°): 2 = 20°, т. е. ∠DAC = 20°.
2) Поскольку в треугольнике ADC точка B является серединой стороны AD, то отрезок CB является медианой, а т. к. CB = AB = BD, то треугольник ADC является прямоугольным с прямым углом ACD.
3) В силу того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, ∠ADC = 90° ––∠DAC = 90° – 20° = 70°.
Ответ. Прямоугольный (неравнобедренный) с острыми углами 20° и 70°.
№ 4. Два прямоугольных треугольника KLM и NLM расположены на плоскости так, что вершины прямых углов K и N находятся в разных полуплоскостях относительно прямой LM. Точки K, N и середину P стороны LM соединили отрезками. Определите вид треугольника KNP и найдите его углы, если ∠KLM = 36°, а ∠NML = 13°.
Решение.
1) Поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то медианы KP и NP равны LP и PM – половинам гипотенузы LM, а значит, треугольники LPK, MPN и KNP равнобедренные.
2) Так как треугольник MPN равнобедренный, то ∠MNP = ∠NMP = 13°, следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника ∠LPN = ∠MNP + ∠NMP = 13° + 13° = 26°.
3) Так как треугольник LPK равнобедренный, то ∠LKP = ∠KLP = 36°, следовательно, по теореме о сумме углов треугольника ∠LPK = 180° – ∠LKP – ∠KLP = 180° – 36° – 36° = 108°.
4) Значит, ∠NPK = ∠LPK + ∠LPN = 108° + 26° = 134°.
5) В силу того, что треугольник KNP равнобедренный с углом 134° напротив основания, то углы при основании равны: (180° – 134°) ∶ 2 = 46° ∶ 2 = 23°.
Ответ. Равнобедренный с углами 134°, 23°, 23°.
№ 5. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 30°, равен 20. Найдите длину высоты, проведённой к гипотенузе, и расстояние от основания этой высоты до медианы, проведённой к гипотенузе.
Решение.
1) В прямоугольном треугольнике HBC напротив ∠B =
= 30° лежит катет HC, равный половине гипотенузы CB = 20, следовательно, HC = 10.
2) Поскольку медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, следовательно, треугольник BMC равнобедренный и ∠BCM = ∠B = 30°, тогда по теореме о внешнем угле треугольника ∠CMH = ∠BCM + ∠B = 30° + 30° = 60°.
3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то ∠HCM = 90° – ∠CMH = 90° – 60° = 30°.
4) Проведём перпендикуляр HK из точки H к медиане CM, следовательно, HK – искомое расстояние.
5) В прямоугольном треугольнике CKH напротив ∠HCK = 30° лежит катет HK, который в два раза меньше гипотенузы CH, поэтому HK = 5.
Ответ. Высота 10, расстояние 5.
Критерии оценивания.
Задача 1.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или верно найден только один из острых углов прямоугольного треугольника; 1 балл — верно найден хотя бы один из углов — ∠ACM или ∠BCM; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Задача 2.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — доказано равенство треугольников, но не сделан вывод про равенство перпендикуляров; 1 балл — построены перпендикуляры к катету и гипотенузе; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Задача 3.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или верно найдены два из трёх углов треугольника; 1 балл — верно найден только один из углов треугольника; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Задача 4.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или обоснованно определён вид треугольника и найден хотя бы один его угол; 1 балл — обоснованно определён вид треугольника; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Задача 5.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или найдено только расстояние HK; 1 балл — найдена высота; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Оценка за работу выставляется следующим образом:
- 13–15 баллов – оценка 5;
- 9–12 баллов – оценка 4;
- 6–8 баллов – оценка 3;
- менее 6 баллов – оценка 2.
Вы смотрели: Геометрия Контрольная Прямоугольный треугольник Вариант 4 для УМК по геометрии для 7 класса «Математическая вертикаль».