Контрольная работа по геометрии 7 класс «Прямоугольный треугольник» глава 4 параграфы 15-16 УМК «Математическая вертикаль» — ОТВЕТЫ на Вариант 1. Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета). Код материалов: КР Прямоугольный треугольник Вариант 1.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Контрольная работа (баз.ур.)
«Прямоугольный треугольник»
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. В прямоугольном треугольнике с острым углом 26° найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.
Решение
1) Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то треугольник BMC – равнобедренный, поэтому ∠BCM = ∠B = 26°.
2) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то ∠BCH = 90° – ∠B = 90° – 26° = 64°.
3) Следовательно, ∠MCH = ∠BCH – ∠BCM = 64° – 26° = 38°.
Ответ: 38°.
№ 2. Докажите, что точка пересечения биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника и медианы, проведённой к гипотенузе, равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому углу.
Решение:
1) Пусть биссектриса AD острого угла A пересекается с медианой CM, проведённой к гипотенузе, в точке K.
Проведём перпендикуляры KN и KP к катету AC и гипотенузе AB соответственно.
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники KNA и KPA, в них есть общая гипотенуза AK, равные острые углы CAK и BAK по определению биссектрисы угла, значит, эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
3) В равных треугольниках равны соответственные элементы – катеты KN и KP, т. е. равны расстояния от точки K до катета AC и гипотенузы AB, что и требовалось доказать.
№ 3. В равнобедренном треугольнике ABC, в котором ∠B = 110°, на продолжении стороны AB отметили точку D так, что отрезок BD равен отрезку AB. Определите вид треугольника ADC и найдите его углы.
Решение.
1) Так как треугольник ABC равнобедренный с тупым углом, то этот угол не может прилежать к его основанию, следовательно, углы при основании будут равны (180° – 110°): 2 = 35°, т. е. ∠DAC = 35°.
2) Поскольку в треугольнике ADC точка B является серединой стороны AD, то отрезок CB является медианой, а т. к. CB = AB = BD, то треугольник ADC является прямоугольным с прямым углом ACD.
3) В силу того, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, ∠ADC = 90° – ∠DAC = 90° – 35° = 55°.
Ответ. Прямоугольный (неравнобедренный) с острыми углами 35° и 55°.
№ 4. Два прямоугольных треугольника KLM и NLM расположены на плоскости так, что вершины прямых углов K и N находятся в одной полуплоскости относительно прямой LM. Точки K, N и середину P стороны LM соединили отрезками. Определите вид треугольника KNP и найдите его углы, если ∠KLM = 24°, а ∠NLM = 32°.
Решение.
1) Поскольку в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то медианы KP и NP равны LP – половине гипотенузы LM, а значит, треугольники LPK, LPN и KNP – равнобедренные.
2) Так как треугольник LPN равнобедренный, то ∠LNP = ∠NLP = 32°, следовательно, по теореме о сумме углов треугольника ∠LPN = 180° – ∠LNP – ∠NLP = 180° – 32° – 32° = 116°.
3) Так как треугольник LPK равнобедренный, то ∠LKP = ∠KLP = 24°, следовательно, по теореме о сумме углов треугольника ∠LPK = 180° – ∠LKP – ∠KLP = 180° – 24° – 24° = 132°.
4) Следовательно, ∠NPK = ∠LPK – ∠LPN = 132° – 116° = 16°.
5) В силу того, что треугольник KNP равнобедренный с углом 16° напротив основания, то углы при основании равны: (180° – 16°): 2 = 164° : 2 = 82°.
Ответ. Равнобедренный с углами 16°, 82°, 82°.
№ 5. В прямоугольном треугольнике с углом 30° расстояние от основания высоты, проведённой к гипотенузе, до середины гипотенузы равно 2. Найдите длину одного из катетов и длину гипотенузы.
Решение.
1) Поскольку медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, следовательно, треугольник BMC равнобедренный и ∠BCM = ∠B = 30°, тогда по теореме о внешнем угле треугольника ∠CMH = ∠BCM + ∠B = 30° + 30° = 60°.
2) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то ∠HCM = 90° – ∠CMH = 90° – 60° = 30°.
3) В прямоугольном треугольнике CMH напротив ∠HCM = 30° лежит катет HM = 2, который в два раза меньше гипотенузы CM, поэтому CM = 4.
4) Так как медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, то AB = 8.
5) В прямоугольном треугольнике ABC напротив ∠B = 30° лежит катет AC, равный половине гипотенузы AB = 8, следовательно, AC = 8 ∶ 2 = 4.
Ответ. Катет 4, гипотенуза 8.
Критерии оценивания.
Задача 1.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или верно найдены два из трёх углов при вершине прямого угла, но не найден искомый угол; 1 балл — верно найден один из углов при вершине прямого угла; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Задача 2.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — доказано равенство треугольников, но не сделан вывод про равенство перпендикуляров; 1 балл — построены перпендикуляры к катету и гипотенузе; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению
Задача 3.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или верно найдены два из трёх углов треугольника; 1 балл — верно найден только один из углов треугольника; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Задача 4.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или обоснованно определён вид треугольника и найден хотя бы один его угол; 1 балл — обоснованно определён вид треугольника; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Задача 5.
3 балла — любое верное решение; 2 балла — арифметическая ошибка или найдена только одна из двух сторон; 1 балл — найдена длина медианы, проведённой к гипотенузе; 0 баллов — нет продвижения в решении задачи или не приступал к решению.
Оценка за работу выставляется следующим образом:
- 13–15 баллов – оценка 5;
- 9–12 баллов – оценка 4;
- 6–8 баллов – оценка 3;
- менее 6 баллов – оценка 2.
Вы смотрели: Геометрия Контрольная Прямоугольный треугольник для УМК по геометрии для 7 класса «Математическая вертикаль».