Итоговая диагностическая работа по математике с ответами углубленный уровень 7 класс МЦКО: алгебра, геометрия, ВиС. Код материалов: Математика Угл.ур. Демоверсия МЦКО.
Вернуться с спику работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
МЦКО Математика Угл.уровень
Демонстрационная версия
№ 1. Найдите значение выражения –4 5/6 + (–11 4/9 – (–3,6) : 9/35) + 5/18.
Решение:
1. Переведём все числа в удобный вид:
─4 5/6 = ─ 29/6,
─11 4/9 = ─ 103/9,
─3,6 = ─ 36/10 = ─ 18/5.
2. Выражение:
─ 29/6 + (─ 103/9 ─ (─ 18/5) : 9/35) + 5/18.
3. Сначала деление:
─ 18/5 : 9/35 = ─ 18/5 • 35/9 = ─ 18 • 35/5 • 9 = ─ 630/45 = ─14.
4. Теперь в скобках:
─ 103/9 ─ (─14) = ─ 103/9 + 14 = ─ 103/9 + 126/9 = 23/9.
5. Подставляем в основное выражение:
─ 29/6 + 23/9 + 5/18.
Приведём к общему знаменателю 18:
─ 29/6 = ─ 87/18,
23/9 = 46/18,
5/18 = 5/18.
Складываем:
─ 87/18 + 46/18 + 5/18 = (─87 + 46 + 5)/18 = (─36)/18 = ─2.
✅ Ответ: ─2.
№ 2. Найдите значение выражения (613)/(9⁶ • 4⁶).
Решение:
1. Представим 9⁶ = (3²)⁶ = 312,
4⁶ = (2²)⁶ = 212.
2. Знаменатель: 312 • 212 = (3 • 2)12 = 612.
3. Теперь дробь: 613 / 612 = 6^{13─12} = 61 = 6.
✅ Ответ: 6.
№ 3. Упростите выражение и найдите его значение (4m² + 4mn + n²) • (2m ─ n)² ─ (16m⁴ + n⁴) при m = ─1, n = 2.
Решение:
1. Заметим, что 4m² + 4mn + n² = (2m + n)² (проверим: (2m + n)² = 4m² + 4mn + n²).
2. Тогда выражение:
(2m + n)² • (2m ─ n)² ─ (16m⁴ + n⁴).
3. Произведение квадратов:
[(2m + n)(2m ─ n)]² = (4m² ─ n²)².
4. Раскроем квадрат:
(4m² ─ n²)² = 16m⁴ ─ 8m² n² + n⁴.
5. Теперь вычитаем 16m⁴ + n⁴:
16m⁴ ─ 8m² n² + n⁴ ─ 16m⁴ ─ n⁴ = ─8m² n².
6. Упрощённое выражение: ─8m² n².
7. Подставляем m = ─1, n = 2:
─8 • (─1)² • 2² = ─8 • 1 • 4 = ─32.
✅ Ответ: ─32.
№ 4. Решите уравнение (1/2) (8x ─ 7) ─ 1,2(5x ─ 3) = 3,5 ─ 0,3x.
Решение:
1. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
5(8x ─ 7) ─ 12(5x ─ 3) = 35 ─ 3x.
2. Раскроем скобки:
40x ─ 35 ─ 60x + 36 = 35 ─ 3x.
3. Упростим левую часть:
─20x + 1 = 35 ─ 3x.
4. Переносим ─20x + 3x = 35 ─ 1:
─17x = 34.
5. Делим на ─17:
x = ─2.
Проверка:
Левая часть: (1/2) (8 • (─2) ─ 7) ─ 1,2(5 • (─2) ─ 3) = (1/2) (─16 ─ 7) ─ 1,2(─10 ─ 3) = (1/2) (─23) ─ 1,2(─13) = ─11,5 + 15,6 = 4,1.
Правая часть: 3,5 ─ 0,3 • (─2) = 3,5 + 0,6 = 4,1.
Верно.
✅ Ответ: ─2.
№ 5. Катер прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 4 часа, а обратно за 6 часов 40 минут. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
Решение:
1. Пусть собственная скорость катера v км/ч, скорость течения u = 2 км/ч.
По течению: v + 2 км/ч, против течения: v ─ 2 км/ч.
2. Время по течению: 4 ч, против течения: 6 ч 40 мин = 6 2/3 ч = 20/3 ч.
3. Расстояние S одинаково:
S = 4(v + 2) = 20/3(v ─ 2).
4. Приравниваем:
4(v + 2) = 20/3(v ─ 2).
Умножим на 3:
12(v + 2) = 20(v ─ 2).
12v + 24 = 20v ─ 40.
24 + 40 = 20v ─ 12v.
64 = 8v.
v = 8 км/ч.
✅ Ответ: 8.
№ 6. Длину прямоугольника уменьшили на 10%, а ширину увеличили на 20%. На сколько процентов изменилась площадь прямоугольника? В ответ запишите только число.
Решение:
1. Пусть исходная длина a, ширина b. Площадь S₀ = ab.
2. Новая длина: a’ = a ─ 0,1a = 0,9a.
Новая ширина: b’ = b + 0,2b = 1,2b.
3. Новая площадь: S₁ = 0,9a • 1,2b = 1,08 ab = 1,08 S₀.
4. Изменение: 1,08 ─ 1 = 0,08, то есть увеличение на 8 %.
✅ Ответ: 8.
№ 7. В треугольнике АМВ медиана МК = 8 см. Периметр треугольника АМК = 25 см, периметр треугольника ВМК = 29 см. Найдите периметр треугольника АМВ.
Решение:
Медиана МК делит сторону АВ пополам: AK = KB.
Периметр △ AMK = AM + MK + AK = AM + 8 + AK = 25 ⇒
AM + AK = 25 ─ 8 = 17 см.
Периметр △ BMK = BM + MK + KB = BM + 8 + KB = 29 ⇒
BM + KB = 29 ─ 8 = 21 см.
Так как AK = KB, обозначим AK = KB = x.
Тогда AM + x = 17 ⇒ AM = 17 ─ x,
BM + x = 21 ⇒ BM = 21 ─ x.
Периметр △ AMB = AM + BM + AB, где AB = 2x.
Подставим:
P_{AMB} = (17 ─ x) + (21 ─ x) + 2x = 17 ─ x + 21 ─ x + 2x = 38 см.
✅ Ответ: 38.
№ 8. Углы треугольника относятся как 2:7:3. Найдите величину большего угла.
Решение:
Пусть углы равны 2k, 7k, 3k.
Сумма углов треугольника 180° :
2k + 7k + 3k = 12k = 180 ⇒ k = 15.
Больший угол 7k = 7 • 15 = 105°.
✅ Ответ: 105.
№ 9. На графике функции y = 4x + 5 найдите точку, абсцисса которой отличается от ординатой только знаком. В ответе укажите ординату этой точки.
Решение:
Абсцисса x, ордината y. Условие: y = ─x(отличается только знаком).
Подставим y = ─x в уравнение:
─x = 4x + 5 ⇒ ─x ─ 4x = 5 ⇒ ─5x = 5 ⇒ x = ─1.
Тогда y = ─(─1) = 1.
✅ Ответ: 1.
№ 10. Представьте в виде произведения многочлен b² – x² + 2xy – y². В ответе запишите номер многочлена, равного данному.
► 1) (b + x + y) (b – x – y)
► 2) (b + x – y) (b – x + y)
► 3) (b + x + y) (b – x + y)
► 4) (b – x – y) (b + x – y).
Решение:
b² – x² + 2xy – y² = b² ─ (x² ─ 2xy + y²) = b² ─ (x ─ y)².
По формуле разности квадратов:
b² ─ (x ─ y)² = [b ─ (x ─ y)] • [b + (x ─ y)] = (b ─ x + y)(b + x ─ y).
Это соответствует варианту 2.
✅ Ответ: 2.
№ 11. Найдите коэффициенты в формуле y = kx + b, задающей линейную функцию, если известно, что её график параллелен прямой y = ─7x + 3 и пересекает график функции y = ─4 + 5x в точке А, принадлежащей оси ординат.
Решение:
Параллельность y = ─7x + 3 ⇒ k = ─7.
Уравнение искомой прямой: y = ─7x + b.
Точка пересечения с графиком y = 5x ─ 4 лежит на оси ординат ⇒ её абсцисса x = 0.
Подставим x = 0 в y = 5x ─ 4 : y = ─4.
Точка A(0; ─4) принадлежит и искомой прямой:
─4 = ─7 • 0 + b ⇒ b = ─4.
✅ Ответ: k = ─7, b = ─4.
№ 12. В треугольнике ABC на стороне BC взята точка D так, что отрезки AD и DB равны 15 см, ∠BAD = 40°. Из точки D на AC опущен перпендикуляр DE. ∠DCE на 50° больше ∠EDC. Найдите DE.
Дано: треугольник ABC; точка D на стороне BC; AD = DB = 15 см; ∠BAD = 40°; DE ⊥ AC (то есть ∠AED = 90°); ∠DCE = ∠EDC + 50°.
Требуется найти: длину отрезка DE.
Решение.
Шаг 1. Анализ треугольника ABD
Треугольник ABD — равнобедренный, так как AD = DB = 15 см.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
∠BAD = ∠ABD = 40°.
Найдём угол при вершине D:
∠ADB = 180° ─ ∠BAD ─ ∠ABD = 180° ─ 40° ─ 40° = 100°.
Шаг 2. Нахождение углов в треугольнике EDC
Рассмотрим треугольник EDC. По условию:
∠DCE = ∠EDC + 50°.
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:
∠EDC + ∠DCE + ∠DEC = 180°.
Подставим ∠DCE:
∠EDC + (∠EDC + 50°) + 90° = 180°.
2 • ∠EDC + 140° = 180°.
2 • ∠EDC = 40° ⇒ ∠EDC = 20°.
Тогда:
∠DCE = 20° + 50° = 70°.
Шаг 3. Нахождение угла ACB
Угол ACB совпадает с углом DCE, то есть:
∠ACB = 70°.
Шаг 4. Нахождение угла BAC
Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем:
∠ABC = ∠ABD = 40°;
∠ACB = 70°.
Тогда:
∠BAC = 180° ─ ∠ABC ─ ∠ACB = 180° ─ 40° ─ 70° = 70°.
Шаг 5. Нахождение угла DAE
Угол BAC состоит из углов BAD и DAE:
∠BAC = ∠BAD + ∠DAE.
70° = 40° + ∠DAE ⇒ ∠DAE = 30°.
Шаг 6. Нахождение DE через треугольник ADE
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE (∠AED = 90°):
AD = 15 см — гипотенуза;
∠DAE = 30°.
Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:
DE = (AD)/2 = 15/2 = 7,5 см.
✅ Ответ: 7,5.
(с) Источник: https://cnd.mcko.ru/pages/demo-diagnostics
Вы смотрели: Итоговая диагностическая работа по математике с ответами повышенный уровень сложности 7 класс МЦКО: алгебра, геометрия, ВиС. Код материалов: Математика Угл.ур. Демоверсия МЦКО.