§ 8. Линейное уравнение с двумя переменными

Алгебра 7 класс. Часть 1 Учебник. Мордкович. (Мнемозина, 2019). Глава 2. Линейная функция. § 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Ознакомительная версия. Цитаты из учебника использованы в учебных целях.


Часть 1 (учебник).  Глава 2. Линейная функция

§ 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

1. Линейное уравнение и его решение. 2. Геометрическая модель линейного уравнения. ТЕОРЕМА 1. 3. Построение графика линейного уравнения. 4. Использование графиков линейных уравнений для решения задач.

 


Вы смотрели ознакомительная версию с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра. 7 класс. Учебник в 2 частях. Часть 1 / А.Г. Мордкович. (Мнемозина, 2019). Глава 2. Линейная функция (теория). § 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

OCR-версия параграфа (транскрипт)

§ 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

1. Линейное уравнение и его решение

В главе 1 мы видели, что математической моделью реальной ситуации может служить линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. А теперь рассмотрим такую реальную ситуацию.

Из городов А и В, расстояние между которыми 500 км, навстречу друг другу вышли два поезда, каждый со своей постоянной скоростью. Известно, что первый поезд вышел на 2 ч раньше второго. Через 3 ч после выхода второго поезда они встретились. Чему равны скорости поездов?

Составим математическую модель задачи. Пусть ж км/ч — скорость первого поезда, у км/ч — скорость второго поезда. Первый был в пути 5 ч и, значит, прошёл путь 5х км. Второй поезд был в пути 3 ч, т. е. прошёл путь 3у км. Их встреча произошла в пункте С. На рисунке 29 представлена геометрическая модель ситуации. На алгебраическом языке её можно описать так: 5х + 3 у = 500 или 5х + Зу — 500 = 0.

Такую математическую модель называют линейным уравнением с двумя переменными х, у.

Вообще ах + by + с = 0, где а, b, с — числа (коэффициенты), — это линейное уравнение с двумя переменными х и у.

Вернёмся к уравнению 5х + Зу = 500. Замечаем, что если х = 40, у = 100, то 5 • 40 + 3 • 100 = 500 — верное равенство. Значит, ответ на вопрос задачи может быть таким: скорость первого поезда 40 км/ч, скорость второго поезда 100 км/ч. Пару чисел х = 40, у = 100 называют решением уравнения 5х + Зу = 500. Говорят также, что пара значений (40; 100) удовлетворяет уравнению 5х + Зу = 500.

Найденное решение не единственное. В самом деле, возможен и такой вариант: х = 64, у = 60; действительно, 5 • 64 + 3 • 60 = 500 — верное равенство. И такой: х = 70, у = 50 (поскольку 5 • 70 + 3 • 50 = 500 — верное равенство).

А вот, скажем, пара чисел х = 80, у = 60 решением уравнения не является, поскольку при этих значениях верного равенства не получается: 5 • 80 + 3 • 60  500.

Вообще решением уравнения ах + by + с = 0 называют всякую пару чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т. е. обращает равенство с переменными ах + by + с = 0 в верное числовое равенство.

Вернёмся ещё раз к уравнению 5ж + Зу = 500, полученному в рассмотренной выше задаче. Среди бесконечного множества его решений имеются, например, и такие: ж = 100, у = 0 (в самом деле, 5 • 100 + 3 • 0 = 500 — верное числовое равенство); ж = 118, у = -30 (так как 5 • 118 + 3 • (-30) = = 500 — верное числовое равенство). Однако, являясь решениями уравнения, эти пары не могут служить решениями данной задачи, ведь скорость поезда не может быть равной нулю (тогда он не едет, а стоит на месте); тем более скорость поезда не может быть отрицательной.

2. Геометрическая модель линейного уравнения

ПРИМЕР 1. Изобразить решения линейного уравнения с двумя переменными х + у — 3 = 0 точками в координатной плоскости хОу.

Решение: Подберём несколько решений заданного уравнения, т. е. несколько пар чисел, которые удовлетворяют уравнению: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5).

Построим в координатной плоскости хОу точки А(3; 0), В(2; 1), С(1; 2), П(0; 3), Е(- 2; 5) (рис. 30). Обратите внимание: все эти пять точек лежат на одной прямой I, проведём её.

Говорят, что прямая I является графиком уравнения х + у — 3 = 0, или что прямая I — геометрическая модель уравнения х + у — 3 = 0 (или х + у = 3).

Итак, если пара чисел (х; у) удовлетворяет уравнению х + у — 3 = 0, то точка М(х; у) принадлежит прямой I; если точка М(х; у) принадлежит прямой I, то пара (х; у) — решение уравнения х + у — 3 = 0. Например, точка Р(6; -3) принадлежит прямой I (см. рис. 30) и пара (6; -3) — решение уравнения х + у — 3 = 0.

Подведём итоги.

А как вообще выглядит график линейного уравнения ах + by + + с = 0? Проведём небольшое исследование, рассмотрев различные случаи в зависимости от значений коэффициентов.

  • 1) Пусть а = 0, b = 0, с = 0. Тогда уравнение принимает вид 0х + 0- у + 0 = 0, т. е. 0 = 0 при любых значениях х, у. Это значит, что любая пара чисел (х; у) является решением уравнения, а график уравнения — вся координатная плоскость.
  • 2) Пусть а = 0, b = 0, с 0. Тогда уравнение принимает вид 0 • х + 0 • у + с = 0, т. е. с = 0. Это не выполняется ни при каких значениях х, у, т. е. уравнение не имеет решений.
  • 3) Пусть а = 0, b ≠ 0. Тогда уравнение принимает вид 0 • х + bу + с = 0, т. е. у = —Графиком служит прямая, параллельная оси х (или сама ось х, если с = 0), об этом мы говорили в § 7.
  • 4) Пусть а ≠ 0, b = 0. Тогда уравнение принимает вид ах + 0 • у + с = 0, т. е. х= Графиком служит прямая, параллельная оси у (или сама ось у, если с = 0), об этом мы также говорили в § 7.
  • 5) Пусть а ≠ 0, b ≠ 0. В этом случае графиком является прямая, не параллельная ни одной из осей координат (как это было в примере 1).

Вообще справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1

Если хотя бы один из коэффициентов а, b линейного уравнения ах + bу + с = 0 отличен от нуля, то графиком уравнения служит прямая линия.

ПРИМЕР 2. Построить график уравнения Зх — 2у + 6 = 0.

Решение:

Подберём несколько решений заданного уравнения:

  1. (0; 3); в самом деле, если х = 0, у = 3, тоЗ-0-2-3 + 6 = 0 — верное равенство (в уравнение Зх — 2у + 6 = 0 мы подставили значения х = 0, у = 3);
  2. (-2; 0); действительно, если х = -2, у = 0, то 3 • (-2) — 2 • 0 + 6 = 0 — верное равенство;
  3. (2; 6); 4) (4; 9) — эти две точки проверьте самостоятельно.

Построим точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6), (4; 9) на координатной плоскости хОу. Они лежат на одной прямой, проведём её (рис. 31). Эта прямая и есть график уравнения Зх — 2у + 6 = 0.

3. Построение графика линейного уравнения

Пример 2 решён верно, но, признаемся, очень нерационально. Почему? Давайте рассуждать.

Мы знаем, что графиком линейного уравнения Зх — 2у + 6 = О является прямая (это утверждается в теореме 1). Чтобы провести прямую, достаточно указать две её точки. Через две точки можно провести прямую и притом только одну — этому нас учит геометрия. Поэтому построенные выше четыре точки — это явный перебор. Достаточно было построить точки (0; 3) и (-2; 0) и с помощью линейки провести через них прямую.

Решения данного уравнения мы подбирали, т. е. угадывали. Угадать что-либо всегда труднее, чем действовать по определённому правилу. Нельзя ли было и здесь не угадывать, а действовать по какому-то правилу? Можно. Например, так. Дадим переменной х конкретное значение, например х = 0 (обычно пишут х! = 0). Подставив это значение в уравнение Зх — 2у + б = 0, получим 3 • 0 — 2у + 6 = 0, т.е. -2у + 6 = 0. Из этого уравнения находим у = 3 (обычно пишут уi = 3). Значит, если х = 0, то у = 3; пара (0; 3) — решение данного уравнения.

Дадим переменной х ещё одно конкретное значение, например х = -2 (обычно пишут х2 = -2). Подставив это значение в уравнение Зх — 2у + 6 = 0, получим 3 • (-2) — 2у + б = 0, т. е. -2у = 0. Из этого уравнения находим у = 0 (обычно пишут у2 = 0). Значит, если х = -2, то у = 0; пара (-2; 0) — решение данного уравнения.

Вот теперь мы в состоянии сформулировать алгоритм построения графика линейного уравнения ах + by + с = 0 (где, напомним, а, b, с — любые числа, но а Ф 0, b Ф 0).

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0, где а 0, b 0

  1. Придать переменной х конкретное значение х = х1; найти из уравнения ax1 + by + с = 0 соответствующее значение у = у1
  2. Придать переменной х другое значение х = х2; найти из уравнения ах2 + by + с = 0 соответствующее значение у = у2.
  3. Построить на координатной плоскости хОу точки (x1; y1) и (х2; у2).
  4. Провести через эти две точки прямую — она и будет графиком уравнения ах + bу + с = 0.

Чаще всего на первом шаге алгоритма берут значение х = 0. Второй шаг иногда немного изменяют: полагают у = 0 и находят соответствующее значение х.

ПРИМЕР 3. Построить график уравнения 4х + Зу — 12 = 0.

Решение

Будем действовать по алгоритму.

  • 1) Положим х = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зг/ — 12 = 0, получим 4 • 0 + Зу — 12 = 0, Зу — 12 = 0, у = 4.
  • 2) Положим у = 0, подставим это значение в уравнение 4х + Зу — 12 = 0, получим 4 • х + 3 • 0 — 12 = 0, 4х — 12 = 0, х = 3.
  • 3) Построим на координатной плоскости хОу две точки: (0; 4) — она найдена на первом шаге алгоритма и (3; 0) — она найдена на втором шаге.
  • 4) Проведём через точки (0; 4) и (3; 0) прямую. Это и есть искомый график (рис. 32).

4. Использование графиков линейных уравнений для решения задач

ПРИМЕР 4. Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причём Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причём у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

Решение

 I ЭТАП. Составление математической модели.

Пусть х — число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у — число яблонь, посаженных в первый год Петровым.

По условию задачи у = 2,5х. Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде

На второй год Иванов увеличил число саженцев на своём участке в 3 раза и, значит, у него стало Зх яблонь. Петров увеличил число саженцев на своём участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь.

По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. 3х + 2у — 16. Перепишем это уравнение в виде

3х + 2у — 16 = 0. (2)

Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными х и у — из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ — фигурную скобку — и специальный термин — система уравнений:

  • 5х — 2у = 0,
  • Зх + 2у — 16 = 0. (3)

II ЭТАП. Работа с составленной моделью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Что делать? Ответ очевиден: надо построить прямую (1), затем прямую (2) и, наконец, найти точку пересечения этих прямых.

  • Строим график уравнения 5х — 2у = = 0. Если х = 0, то у — 0; если х = 2, то у = 5. Проведём через точки (0; 0) и (2; 5) прямую 1\ (рис. 33).
  • Строим график уравнения Зх + 2у — 16 = 0. Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведём через точки (0; 8) и (2; 5) прямую 12 (рис. 33).
  • Прямые 1\ и 12 пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5. III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи.

Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны х и у. Ответ на этот вопрос уже получен: х = 2, у = 5.

Ответ Иванов посадил 2 яблони, а Петров — 5 яблонь.

Как видите, не зря мы с вами учились строить графики линейных уравнений с двумя переменными. Это позволило нам от одной математической модели (алгебраической модели (3)) перейти к другой математической модели — геометрической (две прямые на координатной плоскости на рис. 33), что и дало возможность довести решение до конца.

А можно ли работать непосредственно с моделью (3), не переходя к геометрической модели? Можно, но об этом речь впереди, в главе 3. Там, используя новые знания, мы снова вернёмся к модели (3).

Вопросы для самопроверки

  1. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными х, у.
  2. Запишите в общем виде линейное уравнение с двумя переменными и, V.
  3. Что называют решением уравнения ах + by + с = 0, где х, у — переменные, а а, b, с — коэффициенты?
  4. Может ли линейное уравнение с двумя переменными не иметь решений? Если да, то приведите пример.
  5. Может ли линейное уравнение с двумя переменными иметь конечное множество решений; бесконечное множество решений? Если да, то приведите пример.
  6. Придумайте текстовую задачу, математическая модель которой представляет собой линейное уравнение с двумя переменными.
  7. Как построить график линейного уравнения с двумя переменными, у которого оба коэффициента при переменных отличны от нуля? Сколько точек для этого достаточно взять?
  8. Что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными, у которого один коэффициент при переменной отличен от нуля, а другой равен нулю? Рассмотрите два случая.
  9. В каком случае из линейного уравнения ах + by + с = 0 можно выразить переменную у через переменную х, а в каком — нельзя? Какой вид примет уравнение, если переменную у можно выразить через переменную х?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.