7-й класс онлайн читать: Алгебра Макарычев Задачи повышенной трудности (страницы 234-237 учебника 2023 года). Цитаты из пособия «Макарычев, Миндюк, Нешков: Математика. Алгебра. 7 класс. Базовый уровень. ФГОС (15-е изд.)» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
Задачи повышенной трудности.
Упражнения №№ 1200-1247 с ответами
№ 1200. Найдите все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а – 1)х = 12 является натуральным числом.
ОТВЕТ: 2, 3, 4, 5, 7 и 13.
№ 1201. Решите уравнение: а) |x – 3| = 7; б) |x + 2| = 9; в) |4 – х| = 1,5; г) |6 – х| = 7,3.
ОТВЕТ: а) –4; 10; б) –11; 7; в) 2,5; 5,5; г) –1,3; 13,3.
№ 1202. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.
[/spoiler]№ 1203. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, затем увеличилось на 10%, а во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?
ОТВЕТ: в бочках осталось одинаковое кол-во воды.
№ 1204. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие грибы — 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 11 кг свежих?
ОТВЕТ: 1,25 кг.
№ 1205. Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике орехов на 10% больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
ОТВЕТ: 520, 572 и 440 орехов.
№ 1206. Докажите, что сумма 13 + 23 + … + 993 делится на 100.
[/spoiler]№ 1207. Число а составляет 80% числа b, а число с составляет 140% числа b. Найдите числа а, b и с, если число с больше а на 72.
ОТВЕТ: 96, 120 и 168.
№ 1208. Число а составляет 75% числа b и 40% числа с. Число с на 42 больше числа b. Найдите числа, а и b.
ОТВЕТ: 36 и 48.
№ 1209. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы его цифр?
ОТВЕТ: 12, 24, 36, 48.
№ 1210. Делится ли число 111 … 1 {81 раз} на 81?
ОТВЕТ: Делится.
№ 1211. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или единица.
[/spoiler]№ 1212. К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число, в 23 раза большее первоначального. Найдите это двузначное число.
ОТВЕТ: 77.
№ 1213. В двузначном числе зачеркнули одну цифру. Получилось число, которое в 31 раз меньше первоначального. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?
ОТВЕТ: 890.
№ 1214. Первая цифра трёхзначного числа 8. Если эту цифру переставить на последнее место, то число увеличится на 18. Найдите первоначальное число.
ОТВЕТ: 890.
№ 1215. Постройте график уравнения: а) (х – 2) (y + 3) = 0; б) х2 + ху = 0.
[/spoiler]№ 1216. Постройте график уравнения: a) у + |у| = х; б) у = х|у|.
[/spoiler]№ 1217. Постройте график функции: а) у = |х| – 3; б) у = 4 – |х|.
[/spoiler]№ 1218. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.
ОТВЕТ: 72.
№ 1219. Докажите, что значение выражения 967 – 225 – 486 кратно 10.
[/spoiler]№ 1220. В координатной плоскости (рис. 100) отмечена точка М(х; у). Отметьте в этой координатной плоскости точки А(2х; 2у), В(–3x; 1/2 • y), С(1/2 • х; –2у), D(–1/2 • х; –1/3 • у).
[/spoiler]№ 1221. Что больше: (1010 + 1) / (1011 + 1) или (1011 + 1) / (1012 + 1) ?
ОТВЕТ: первая дробь больше второй.
№ 1222. Представьте выражение 2х2 + 2у2 в виде суммы двух квадратов.
ОТВЕТ: (x – y)2 + (x + y)2.
№ 1223. Если х ≠ 0 или у ≠ 0, то значение выражения 15x2 – 18ху + 15у2 положительно. Докажите это.
№ 1224. Разложите на множители многочлен:
а) x8 + х4 – 2; б) а5 – а2 – а – 1; в) n4 + 4; г) n4 + n2 + 1.
[/spoiler]№ 1225. Докажите, что р2 – 1 кратно 24, если р — простое число, большее 3.
№ 1226. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.
№ 1227. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.
№ 1228. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.
№ 1229. Упростите выражение
(2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1).
ОТВЕТ: 264 – 1.
№ 1230. Докажите, что уравнение х2 – у2 = 30 не имеет целых решений.
№ 1231. Докажите, что не существует целых коэффициентов а, b, с и d таких, что значение многочлена ах3 + bx2 + cх + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62.
№ 1232. Докажите, что если у есть среднее арифметическое х и z, то х4 + 2х3z – 2xz3 – z4 – 4х2у2 + 4y2z2 = 0.
№ 1233. Найдите все простые числа р и q, для которых p2 – 2q2— 1.
ОТВЕТ: q = 2; p = 3.
№ 1234. При каких значениях а, b, с и d является тождеством равенство
5x3 – 32x2 + 75x – 71 = а(х – 2)3 + b(х – 2)2+ с(х – 2) + d?
ОТВЕТ: а = 5, b = –2, c = 7, d = –9.
№ 1235. Представьте многочлен 3x3 + 7х2 + 9х + 6 в виде многочлена ау3 + bу2 + су + d, где у = x + 1.
ОТВЕТ: 3y3 — 2y2 + 4y + 1.
№ 1236. При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3x + 7у = 23?
ОТВЕТ: x = 3, y = 2.
№ 1237. Решите систему уравнений:
а)
{ x – y = 1,
{ y – z = –1,
{ z + x = 8;
б)
{ x + y = –3,
{ y + z = 6,
{ z + x = 1;
в)
{ x – y + 2z = 1,
{ x – y – z = –2,
{ 2x – y + z = 1.
ОТВЕТ: а) x = 3, y = 4, z = 5;
б) x = –4, y = 1, z = 5;
в) x = –1, y = 0, z = 1.
№ 1238. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.
ОТВЕТ: 729.
№ 1239. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.
ОТВЕТ: 24 и 144, или 48 и 120, или 72 и 96.
№ 1240. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения х + у = 26.
ОТВЕТ: 3 и 23; 7 и 19; 13 и 13; 19 и 7; 23 и 3.
№ 1241. Путь от А до В идёт 3 км в гору, 6 км под гору и 12 км по ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.
ОТВЕТ: 12 и 30 км/ч.
№ 1242. Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?
ОТВЕТ: 8 косцов.
№ 1243. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин выехали навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?
ОТВЕТ: 40 и 80 км/ч.
№ 1244. Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же время из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в 1 5/7 раза больше скорости другого.
ОТВЕТ: 15 км/ч.
№ 1245. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта В. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от Л до В и скорость всадника и пешехода.
ОТВЕТ: 6 км, 7,2 км/ч, 3,6 км/ч.
№ 1246. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?
ОТВЕТ: ≈114 кг.
№ 1247. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?
ОТВЕТ: в 3 раза.
Вы смотрели: Алгебра Макарычев Задачи повышенной трудности (страницы 234-237 учебника 2023 года). Цитаты из пособия «Макарычев, Миндюк, Нешков: Математика. Алгебра. 7 класс. Базовый уровень. ФГОС (15-е изд.)» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения.
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника.
