7 класс Онлайн

Геометрия ГДЗ Атанасян Учебник. Задания 351 — 362. Решебник практических заданий и задач из учебника «Геометрия 7 класс» УМК Атанасян, Бутузов и др. Задачи повышенной трудности к главам III и IV. Ответы на задания и задачи представлены для родителей в конце статьи.

Геометрия (Атанасян) Учебник

Задачи повышенной трудности к главам III и IV

351. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Решение
Даны три отрезка M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 148, а). Требуется, построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а высота АН равна отрезку M₃N₃. Проведём решение задачи по описанной в учебнике схеме.

Анализ
Допустим, что искомый треугольник АВС построен (рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника АВН. Поэтому построение треугольника АВС можно провести по такому плану: сначала построить прямоугольный треугольник АВН, а затем достроить его до всего треугольника АВС.

Построение
Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипотенуза АВ равна отрезку M₁N₁, а катет АН равен данному отрезку M₃N₃. Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На рисунке 149, а изображён построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность радиуса M₂N₂ с центром в точке А. Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник АВС (рис. 149, б).

Доказательство
Треугольник АВС действительно искомый, так как по построению сторона АВ равна M₁N₁, сторона АС равна M₂N₂, а высота АН равна M₃N₃, т. е. треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование
Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при любых данных отрезках M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃. В самом деле, если хотя бы один из отрезков M₁N₁ и M₂N₂ меньше M₃N₃, то задача не имеет решения, так как наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет решения и в том случае, когда M₁N₁ = M₂N₂ = M₃N₃ (объясните почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если M₁N₁ > M₃N₃, a M₂N₂ = M₃N₃, то задача имеет единственное решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в). Если M₁N₁ > M₃N₃, a M₂N₂ = M₁N₁, то задача также имеет единственное решение: в этом случае треугольник АВС равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если M₁N₁ > M₃N₃, M₂N₂ > M₃N₃ и M₁N₁ ≠ M₂N₂ то задача имеет два решения — треугольники АВС и АВС, на рисунке 149, д.

352. Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудалённую от точек А и В. Всегда ли задача имеет решение?
353. □ Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудалённую от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
354. □ Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?
355. □ Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма AM + МВ имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы АХ + ХВ, где X — любая точка прямой а, отличная от М.
356. □ Постройте прямоугольный треугольник АВС, если даны острый угол В и биссектриса BD.
357. □ На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
358. □ Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих прямых. Сколько решений имеет задача?
359. □ Дана окружность с центром О и точка А вне её. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и С таких, что АВ = ВС.
360. □ Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.
361. □ Постройте треугольник по периметру и двум углам.
362. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.

ОТВЕТЫ на задания 351 — 362:

Вы смотрели: ГДЗ Атанасян Учебник. Задания 351 — 362. Решебник практических заданий и задач из учебника «Геометрия 7 класс» УМК Атанасян, Бутузов и др. Задачи повышенной трудности к главам III и IV. Ответы на задания и задачи.

Вернуться к Списку заданий учебника по Геометрии 7 класс Атанасян.