Геометрия Контрольная работа №3 «Равенство фигур» для УМК по геометрии для 7 класса «Математическая вертикаль». Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Контрольная работа № 3
«Равенство фигур»
Уровень А. Вариант 1.
№ 1. Треугольники МРС и DAB равны. Известно, что МР = 12 см, СР = 8 см и ∠A = 73°. Какое из высказываний верно?
а) DB = 8 см, АВ = 12 см;
б) ∠M = 73°, АБ = 8 см;
в) AD = 12 см, ∠P = 73°;
г) АВ = 12 см, ∠P = 73°.
ОТВЕТ: в) AD = 12 см, ∠P = 73°.
№ 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = BО, СО = DО. Известно, что СО = 5 см, ВО = 3 см, BD = 4 см. Найдите периметр треугольника САО.
ОТВЕТ: 12 см.
№ 3. В четырёхугольнике АBСD известно, что АD = BС и АB = СD. Докажите, что углы А и С четырёхугольника равны.
ОТВЕТ: Так как противоположные стороны равны, то это параллелограмм. В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, углы A и C равны.
№ 4. В треугольнике ABC с равными углами A и C проведена медиана BD, а точки K и M являются серединами сторон AB и BC соответственно. Докажите, что треугольники AKD и CMD равны.
ОТВЕТ:
Рассмотрим треугольники AKD и CMD, в них:
AD = CD (BD – медиана по условию).
АК = СМ (точки К и М – середины равных сторон).
∠A = ∠C (треугольник АВС — равнобедренный).
Имеем первый признак равенства треугольников. Треугольник равны, ч.т.д.
№ 5. На сторонах угла ABC отмечены точки M и K так, что углы BMC и BKA равны, BM = BK, AB = 15, BK = 8, CM = 9. Найдите периметр треугольника COK, где O — точка пересечения прямых AK и CM.
ОТВЕТ: 16.
Уровень А. Вариант 2.
№ 1. Треугольники АВС и DEF равны. Известно, что ВС = 6,9 см, DF = 7,6 см и ∠В = 73°. Какое из высказываний верно?
а) DE = 6,9 см, АС = 7,6 см;
б) ∠Е = 73°, АС = 7,6 см;
в) FD = 6,9 см, ∠E = 73°;
г) АС = 7,6 см, ∠D = 73°.
ОТВЕТ: б) ∠Е = 73°, АС = 7,6 см.
№ 2. Отрезки АB и СD пересекаются в точке О так, что АО = ВО и ∠CAO = ∠DBO. Известно, что СО = 7 см, BО = 5 см, BD = 6 см. Найдите периметр треугольника САО.
ОТВЕТ: 18 см.
№ 3. В четырёхугольнике ABCD известно, что АD = ВС и АB = СD. Докажите, что углы B и D равны.
ОТВЕТ: воспользуемся методом доказательства через равенство треугольников.
1. Рассмотрим треугольники ABD и CDB .
2. Из условия задачи имеем:
• AB = CD (по условию)
• AD = BC (по условию)
3. Обозначим угол ADB как α и угол CDB как β .
4. Теперь, чтобы показать, что углы B и D равны, нам нужно доказать, что треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и углу между ними.
5. Рассмотрим стороны:
• Сторона AB равна стороне CD (по условию).
• Сторона AD равна стороне BC (по условию).
6. Углы ADB и CDB являются углами между сторонами AD и AB в треугольнике ABD , и соответственно между сторонами CD и BC в треугольнике CDB .
7. Таким образом, по двум сторонам и углу между ними мы можем утверждать, что треугольники ABD и CDB равны:
• AB = CD
• AD = BC
• ∠ADB = ∠CDB
8. Из равенства треугольников следует, что углы при основании равны:
• ∠B = ∠D .
Следовательно, мы доказали, что углы B и D равны.
№ 4. В равнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса BD, а точки K и M являются серединами боковых сторон AB и BC соответственно. Докажите, что треугольники AKD и CMD равны.
№ 5. На сторонах угла ABC отмечены точки M и K так, что углы BMC и BKA равны, BM = BK, AB = 14, BK = 7, CM = 8. Найдите периметр треугольника COK, где O — точка пересечения прямых AK и CM.
ОТВЕТ: 15.
Уровень Б. Вариант 1.
№ 1. Укажите все верные утверждения:
а) Любая высота равнобедренного треугольника является его медианой.
б) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
в) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, делит основание на две равные части.
г) Если у двух многоугольников равны все их соответственные стороны, то такие многоугольники равны.
ОТВЕТ: б), в).
№ 2. Докажите, что диагональ квадрата является биссектрисой его угла.
ОТВЕТ: В квадрате все углы прямые. При проведении диагоналей каждый угол делится пополам, так как диагонали равны и пересекаются под прямым углом, деля углы на равные части.
№ 3. Известно, что EH = GJ, FG = JD, ∠FGH = ∠GJD, ∠EFG = 81°. Найдите угол HDJ.
ОТВЕТ: 81°.
№ 4. Внутри треугольника ABC взята точка O, причём ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. Докажите, что: а) углы BAC и BCA равны; б) прямая BO проходит через середину отрезка AC.
№ 5. На одной стороне угла с вершиной K взяли точки M и N, на другой — O и P. Отрезки MP и ON пересекаются в точке Q. Известно, что NQ = QP, а ∠QNM = ∠QPO. Докажите, что точка Q лежит на биссектрисе угла K.
Уровень Б. Вариант 2.
№ 1. Укажите все верные утверждения:
а) Геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить друг с другом так, чтобы они совпали каждой своей точкой.
б) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
в) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
г) Если у двух многоугольников равны все их соответственные стороны и углы, то такие многоугольники равны.
ОТВЕТ: а), г).
№ 2. Докажите, что диагонали прямоугольника равны. (Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы — прямые)
ОТВЕТ: Рассмотрим прямоугольный треугольник ВАЕ и прямоугольный треугольник АВС. У них сторона АВ — общая. Сторона ВС = АЕ, так как АВСЕ — прямоугольник и у него противолежащие стороны равны.
По двум катетам прямоугольный треугольник ВАЕ равен прямоугольному треугольнику АВС. Следовательно АС = ВЕ, ч.т.д.
№ 3. Известно, что EH = GJ, EF = DH, FG = DJ, ∠EFG = 78°. Найдите угол HDJ.
ОТВЕТ: 78°.
№ 4. На сторонах AB, BC и AC равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечены точки M, K и L соответственно так, что AM = KC и ∠AML = ∠LKC. Докажите, что: а) LB — биссектриса угла MLK; б) прямые MK и BL взаимно перпендикулярны.
№ 5. На одной стороне угла с вершиной K взяли точки M и N, а на другой — O и P. Отрезки MP и ON пересекаются в точке Q. Известно, что NQ = QP и QM = QO. Докажите, что точка Q лежит на биссектрисе угла K.
Вы смотрели: Геометрия Контрольная работа №3 «Равенство фигур» для УМК по геометрии для 7 класса «Математическая вертикаль».