Геометрия Контрольная работа №4 «Сумма углов в треугольнике» для УМК по геометрии для 7 класса «Математическая вертикаль». Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
Контрольная работа № 4
«Сумма углов в треугольнике»
Уровень А. Вариант 1.
№ 1. Укажите все верные утверждения:
а) Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с ним.
б) Внутренние односторонние углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
в) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
г) Существует четырёхугольник, все углы которого острые.
ОТВЕТ: а, в.
№ 2. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите отношение внешних углов треугольника.
ОТВЕТ: 5 : 6 : 7.
№ 3. Треугольники АВС и DEF расположены так, как показано на рисунке. Известно, что отрезки AD и CF, а также FE и СВ равны между собой, при этом ВС || EF. Докажите, что прямые АВ и DE параллельны.
Доказательство: 1) Треугольники АВС и DEF равны по 1–му признаку: а) FE = СВ по условия; б) AC = DF, так как АС = AD + DC, DF = DC + CF, при этом DC – общая, а AD и CF равны по условию; в) углы BCA и EFD равны, так как соответственные (при параллельных ВС и EF и секущей CF).
2) Так как △АВС = △DEF, то ∠ABC = ∠DEF, а ∠ADE -= 180° – ∠DEF (смежные углы). Следовательно, ∠ABC + ∠ADE = ∠DEF + (180° – ∠DEF) = 180°.
3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны. Две прямые АВ и DE пересекает секущая AD, сумма односторонних углов ∠ABC и ∠ADE = 180°, следовательно прямые АВ и DE параллельны.
№ 4. В равнобедренном треугольнике АВС к его боковым сторонам провели биссектрисы AD и СЕ. Точка F на стороне ВС выбрана таким образом, что EF || AD. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что ∠CEF = 52°.
ОТВЕТ: 52°, 52°, 76°.
№ 5. Дан правильный треугольник АВС и точки М и N такие, что треугольники MAC и NCB равнобедренные, углы MAC и NCB равны 104°, при этом точки М и В лежат по разные стороны от прямой АС, а точки N и А — по разные стороны от прямой ВС. Найдите угол MBN.
ОТВЕТ: ∠MBN = 90°.
Указание к решению: найдите углы равнобедренных треугольников АВМ и BCN.
Уровень А. Вариант 2.
№ 1. Укажите все верные утверждения:
а) Внешний угол треугольника равен полусумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с ним.
б) Накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
в) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.
г) Сумма любых трёх углов выпуклого четырёхугольника всегда больше 180°.
ОТВЕТ: б).
№ 2. Углы треугольника относятся как 4 : 5 : 11. Найдите отношение внешних углов треугольника.
ОТВЕТ: 16 : 9 : 15.
№ 3. Треугольники АВС и DEF расположены так, как показано на рисунке. Известно, что отрезки AD и BE, а также FE и АС равны между собой, при этом FE || АС. Докажите, что прямые FD и ВС параллельны.
ОТВЕТ: –
№ 4. В равнобедренном треугольнике АВС к его боковым сторонам провели биссектрисы AD и СЕ. Точка F на стороне ВС выбрана таким образом, что EF || AD. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что ∠CEF = 64°.
ОТВЕТ: 64°, 64°, 52°.
№ 5. Дан правильный треугольник АВС и точки Р и Q такие, что треугольники РАС и QCB равнобедренные, углы РАС и QCB равны 98°, при этом точки Р и В лежат по разные стороны от прямой АС, а точки Q и А — по разные стороны от прямой ВС. Найдите угол PBQ.
ОТВЕТ: 90°.
Указание: найдите углы равнобедренных треугольников АВР и BCQ.
Уровень Б. Вариант 1.
№ 1. Прямая MN пересекает параллельные прямые АВ и CD в точках М и N соответственно. Сумма углов AMN и CNM равна 136°. Укажите все верные утверждения.
а) Точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой MN.
б) Точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой MN.
в) Сумма углов AMN и DNM равна 180°.
г) Угол BMN равен 112°.
ОТВЕТ: б, в, г
№ 2. Один из внешних углов треугольника в 2 раза больше другого внешнего угла. Найдите эти внешние углы, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.
ОТВЕТ: 150°, 75°
№ 3. Равносторонний треугольник перегнули так, что одна его вершина попала на противоположную сторону. Докажите, что ∠1 = ∠2.
Указание к решению: найдите угол, который в сумме с ∠1 даёт 120° и в сумме с ∠2 тоже даёт 120°.
№ 4. Точки D, Е и F выбраны на сторонах АС, АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС так, что DE = DF и при этом ∠BAC = ∠FDE. Докажите, что АЕ + FC = АС.
Указание к решению: докажите, что △AED равен △CDF.
№ 5. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором ∠CAD = ∠DBA = 40°, ∠CAB = 60°, ∠CBD = 20°. Найдите угол BDC.
ОТВЕТ: 30°.
Указание к решению: докажите, что АС = AD.
Уровень Б. Вариант 2.
№ 1. Прямая АВ пересекает параллельные прямые РК и MN в точках А и В соответственно. Сумма углов РАВ и MBA равна 116°. Укажите все верные утверждения.
а) Точки К и М лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ.
б) Точки Р и N лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ.
в) Сумма углов РАВ и NBA равна 180°.
г) Угол КАВ равен 122°.
ОТВЕТ: а, в, г.
№ 2. Один из внешних углов треугольника в 4 раза больше другого внешнего угла. Найдите эти внешние углы, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 20°.
ОТВЕТ: 160°, 40°.
№ 3. Прямоугольник перегнули так, что одна его вершина попала на несмежную сторону. Докажите, что ∠l = ∠2.
Указание к решению: найдите угол, который в сумме с ∠1 даёт 90° и в сумме с ∠2 тоже даёт 90°.
№ 4. На боковых сторонах АВ и ВС, а также на основании АС равнобедренного треугольника АВС выбраны точки Р, Q, R соответственно так, что PR = RQ, а угол PRQ равен углу при основании треугольника АВС. Докажите, что АР + QC = АС.
Указание к решению: докажите, что △APR равен △CRQ.
№ 5. В треугольнике АВС известно, что ∠BCA = 40° и ∠BAC = 80°. На стороне АС отмечена точка К, а на стороне ВС — точка L так, что ∠KBC = 10° и ∠LAC = 20°. Найдите величину угла ALK.
ОТВЕТ: 80°.
Указание к решению: докажите, что AL = АК.
Вы смотрели: Геометрия Контрольная работа №4 «Сумма углов в треугольнике» для УМК по геометрии для 7 класса «Математическая вертикаль».