Геометрия 7 класс Контрольная работа Геометрические места точек Окружность с ответами. Контрольная № 4 по геометрии в 7 классе «ГМТ. Окружность. Касательная. Вписанные и описанные треугольники » для УМК Атанасян с 2023 года. Рубрика «Вопросы и Фотографии заданий от наших пользователей сайта». К нам поступили фотографии неизвестной нам контрольной работы, которой нет в Интернете. Мы отсканировали. распознали и подготовили ответы на неё. В скобках указан вариант работы: (1) — вариант № 1, (2) — вариант № 2. Присылайте нам свои варианты контрольной работы по любому школьному предмету на наш адрес электронной почты: kip1979@mail.ru
Контрольная работа
«Геометрические места точек»
№1(1). Начертите прямоугольный треугольник, около которого описана окружность. Сделайте все необходимые обозначения.
ОТВЕТ: см.рисунок внизу слева.
№1(2). Начертите остроугольный треугольник, в который вписана окружность. Сделайте все необходимые обозначения.
Ответ: см.рисунок вверху справа.
№2(1). В угол C величиной 100° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O – центр окружности. Найдите угол AOB.
Ответ: ∠АОВ = 80°.
Решение: Окружность вписана в угол, значит, её центр O лежит на биссектрисе угла C. Радиусы OA и OB перпендикулярны сторонам угла в точках касания. Рассмотрим четырёхугольник CAOB. В нём углы при вершинах A и B — прямые (по свойству касательной). Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
∠C = 100°, ∠A = 90°, ∠B = 90°.
Тогда ∠AOB = 360° – (100° + 90° + 90°) = 360° – 280° = 80°.
№2(2). В угол C величиной 70° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB.
Ответ: ∠АОВ = 110°.
Решение: Аналогично предыдущему: OA ⟂ CA, OB ⟂ CB. Четырёхугольник CAOB: ∠C = 70°, ∠A = 90°, ∠B = 90°.
∠AOB = 360° – (70° + 90° + 90°) = 360° – 250° = 110°.
№3(1). На окружности с центром О отмечены точки A и B так, что угол АОВ равен 150°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах (см. рис. внизу).
Ответ: ∠АВС = 75°.
Решение: Касательная BC перпендикулярна радиусу OB в точке касания, значит ∠OBC = 90°.
Угол AOB — центральный, равен 150°. Треугольник AOB равнобедренный (OA = OB).
∠OBA = (180° – 150°) / 2 = 15°.
Угол ABC = ∠OBC – ∠OBA = 90° – 15° = 75°.
№3(2). На окружности с центром О отмечены точки A и B так, что угол AOB равен 160°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах (см. рис. вверху).
Ответ: ∠АВС = 80°.
Решение: ∠OBC = 90° (касательная).
В равнобедренном треугольнике AOB: ∠OBA = (180° – 160°) / 2 = 10°.
∠ABC = 90° – 10° = 80°.
№4(1). В треугольнике ABC известно, что AC = 7, ∠A = 60°, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Ответ: R = 7.
Решение: Треугольник ABC — прямоугольный (∠C = 90°). В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.
Гипотенуза AB. Дано: AC = 7, ∠A = 60°. В прямоугольном треугольнике cos A = AC / AB.
cos 60° = 1/2, значит 1/2 = 7 / AB → AB = 14.
Радиус R = AB / 2 = 14 / 2 = 7.
№4(2). В треугольнике ABC известно, что BC = 6, ZB = 60°, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Ответ: R = 6.
Решение: Треугольник прямоугольный (∠C = 90°). Гипотенуза AB.
Дано: BC = 6, ∠B = 60°.
cos B = BC / AB → cos 60° = 1/2 → 1/2 = 6 / AB → AB = 12.
Радиус R = AB / 2 = 12 / 2 = 6.
№5(1). Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и ∠АВС = 110°. Найдите угол ВОС (см. рис.2).
Ответ: ∠ВОС = 70°.
Решение:
1. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC (AB = BC). Угол при вершине B равен 110°.
2. Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° – 110°) : 2 = 70° : 2 = 35°.
3. Угол BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Дуга BC соответствует вписанному углу BAC, который равен 35°. Центральный угол в 2 раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: ∠BOC = 2 · ∠BAC = 2 · 35° = 70°.
№5(2). Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и ∠АВС = 50°. Найдите угол ВОС (см. рис.3).
Ответ: ∠ВОС = 130°.
Решение:
1. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Угол при вершине B равен 50°.
2. Углы при основании: ∠BAC = ∠BCA = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°.
3. Центральный угол BOC опирается на дугу BC. Вписанный угол BAC = 65°, значит центральный угол BOC = 2 · 65° = 130°.
№6(1). Окружность с центром О вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Докажите, что треугольник АВО равен треугольнику ВСО.
Доказательство: 1) Точка О — центр окружности равноудалена от сторон △АВС, значит она лежит на биссектрисах углов => ∠АВО = ∠ОВС.
2) АВ = ВС по условию, ВС – общая => △АОВ = △ВСО по двум сторонам и углу между ними (1-й признак = △).
№6(2). Окружность с центром О описана около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что треугольники АВО, ВСО и АСО равны.
Доказательство: 1) ОА = ОВ = ОС как радиусы, 2) АС = АВ = ВС по условию => △АВО = △ВСО = △АСО по трем сторонам (3-й признак).
№7(1). Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 21, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Ответ: РАВС = 104.
Решение:
1. Пусть треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, боковые стороны AB = BC. Точка касания окружности на боковой стороне (например, AB) делит её на отрезки: от вершины B (противолежащей основанию) до точки касания — 10, и от точки касания до вершины A — 21. Значит, AB = 10 + 21 = 31.
2. По свойству касательных: отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны. Из вершины B: отрезки до точек касания на боковых сторонах равны 10 (на AB) и 10 (на BC). Из вершины A: отрезки до точек касания на AB и AC равны 21 (на AB) и 21 (на AC). Из вершины C: отрезки до точек касания на BC и AC равны 10 (на BC) и 21 (на AC).
3. Основание AC = 21 + 21 = 42. Боковые стороны: AB = BC = 31.
4. Периметр P = AB + BC + AC = 31 + 31 + 42 = 104.
№7(2). Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 3 и 10, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Ответ: РАВС = 46.
Решение:
1. Аналогично №7(1): боковая сторона AB = 3 + 10 = 13. От вершины B (противолежащей основанию) до точки касания — 3.
2. Из вершины B: отрезки до точек касания на боковых сторонах равны 3. Из вершины A: отрезки до точек касания на AB и AC равны 10. Из вершины C: отрезки до точек касания на BC и AC равны 3 и 10 соответственно.
3. Основание AC = 10 + 10 = 20. Боковые стороны: AB = BC = 13.
4. Периметр P = 13 + 13 + 20 = 46.
N8*(1). Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 16 и 12.
Ответ: CD = 32.
Решение:
1. Пусть O — центр окружности, R — радиус. Проведём перпендикуляры из O к хордам: OM ⟂ AB (M — середина AB), ON ⟂ CD (N — середина CD). Дано: OM = 16, ON = 12, AB = 24.
2. В треугольнике OMA: AM = AB/2 = 12. По теореме Пифагора: R² = OM² + AM² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400. Значит, R = 20.
3. В треугольнике ONC: CN = CD/2, ON = 12. По теореме Пифагора: CN² = R² – ON² = 400 – 144 = 256. Значит, CN = 16.
4. Тогда CD = 2 · CN = 2 · 16 = 32.
№8*(2). Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 18, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 12 и 9.
Ответ: CD = 24.
Решение:
1. OM = 12, AB = 18 → AM = 9. R² = OM² + AM² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225. R = 15.
2. ON = 9. CN² = R² – ON² = 225 – 81 = 144. CN = 12.
3. CD = 2 · 12 = 24.
Вы смотрели: Геометрия 7 класс Контрольная работа Геометрические места точек Окружность с ответами. Контрольная № 4 по геометрии в 7 классе «ГМТ. Окружность. Касательная. Вписанные и описанные треугольники » для УМК Атанасян с 2023 года. Рубрика «Вопросы и Фотографии заданий от наших пользователей сайта».
Если Вам нужно решение какой-либо из этих задач, то напишите об этом в комментариях.
Решение?
Добавили.