7 класс Онлайн

1. Решение линейного уравнения с одной переменной

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделей реальных ситуаций являются известные вам из курса математики 5—6-го классов линейные уравнения с одной переменной. Приведём примеры линейных уравнений: 3х = 12, 5у — 10 = 0, 2а + 7 = 0 и т. д. Решить линейное уравнение — это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения. Так, уравнение 3х = 12 имеет корень х = 4, поскольку 3 • 4 = 12 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 5у — 10 = 0 имеет корень у = 2, поскольку 5 • 2 — 10 = 0 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 2а + 7 = 0 имеет корень а = -3,5, поскольку 2 • (-3,5) + 7 = 0 — верное равенство, причём других корней нет.
Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где а и b — любые числа (коэффициенты). Если а = 0 и b = 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней). Если а = 0 и b ≠ 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет; говорят, что уравнение не имеет корней.
Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда а ≠ 0. Рассуждаем так:
1) ах + b = 0, значит, ах = -b; фактически слагаемое b перенесли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком;
2) ах = -b, т. е. произведение чисел а и х равно -b; но тогда множитель х равен частному от деления произведения -b на второй множитель. Значит, х = (-b) : а. Вместо знака деления можно использовать черту дроби: х = -b/a.
Фактически мы выработали определённую программу действий, определённый порядок ходов — в математике в таких случаях используется термин алгоритм — для решения линейного уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0 в случае, когда а ≠ 0.
1. Преобразовать уравнение к виду ах = -b.
2. Записать корень уравнения в виде х = (-b) : а, или, что то же самое, х = -b/a.
А как быть, если уравнение записано в более сложном виде, например 2х — 2 = 10 — х?
Рассуждаем так. Два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю: (2х — 2) — (10 — х) = 0. Воспользуемся известными из курса математики 5—6-го классов правилами раскрытия скобок и приведения подобных членов:
2х — 2 — 10 + х = 0;
3х — 12 = 0;
3х = 12;
х = 4.
Такие уравнения вы уже решали в курсе математики 5—6-го классов. Обобщим проведённые рассуждения, оформив их в виде ещё одного полезного алгоритма.

Алгоритм решения уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с)
1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.
2. Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида kx + m = 0, где k ≠ 0.
3. Преобразовать уравнение к виду kx = -m и записать его корень: х = —m/k.

Именно так было решено уравнение, которое получилось в предыдущем параграфе в примере 1.

2. Решение примеров
Решить уравнение 2у/3 + 7/8 = 5у/6 — 1/4.
Первый способ. Воспользуемся алгоритмом:
Второй способ. Прежде чем применять алгоритм, умножим обе части уравнения на 24 — это наименьший общий знаменатель имеющихся дробей. При этом мы пользуемся тем, что если А = В, то 24А = 24В, и обратно. Получим:
16у + 21 = 20у — 6.
А далее воспользуемся алгоритмом:
Ответ: y = 6 3/4.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение.
Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению средних
членов), получим:
2(3z — 4) = 5(2z + 1).
Дальнейший ход решения, надеемся, уже не требует комментариев:
Ответ: z = -3 1/4.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение:
Решение а) Наименьшим общим кратным для знаменателей 3, 6, 4, 12 является число 12. Умножив обе части уравнения на 12, получим:
Получили неверное числовое равенство. Что это означает для данного уравнения? То, что оно не имеет корней: ни при каком значении х уравнение не обращается в верное числовое равенство.
б) Умножив обе части уравнения на 10, получим:
Получили верное числовое равенство. Что это означает для данного уравнения? То, что оно обращается в верное числовое равенство при любом значении х.
Ответ: а) Корней нет; б) корнем является любое число.

3. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

ПРИМЕР 4. Купили некоторое количество книг для библиотеки и пытаются разместить их на одинаковых полках стеллажа. Сначала поставили по 20 книг на каждую полку. В результате две полки оказались пустыми, а остальные заполненными (по 20 книг).
Затем решили ставить по 15 книг на полку. Попытка оказалась удачной: все полки заполнились (по 15 книг на каждой). Сколько книг было куплено?

Решение. I ЭТАП. Составление математической модели.
Обозначим буквой х число полок в стеллаже. Когда на каждую полку поставили по 20 книг, то заполненными оказались (х — 2) полки. Значит, общее число купленных книг выражается формулой 20(х — 2). Далее в задаче сказано, что когда на каждую полку поставили по 15 книг, то все х полок оказались заполненными сплошь. Значит, общее число купленных книг выражается формулой 15х. Остаётся приравнять два полученных выражения числа купленных книг:
20(х — 2) = 15х.
Это уравнение — математическая модель задачи.

II ЭТАП. Работа с составленной моделью. Решаем уравнение:
20(х — 2) — 15х = 0;
20х — 40 — 15х = 0;
5х — 40 = 0;
5х = 40;
х = 8.

III ЭТАП. Ответ на вопрос задачи. Мы выяснили, что в стеллаже 8 полок. Все купленные книги разместили на этих полках по 15 штук на каждой. Значит, всего было куплено 15 • 8 = 120 книг.
Ответ Всего было куплено 120 книг.

Вопросы для самопроверки
1. Что называют корнем уравнения с одной переменной?
2. Приведите пример уравнения, у которого нет корней.
3. Что такое линейное уравнение с одной переменной?
4. Что означает фраза: «Решить линейное уравнение»?
5. Как вы думаете, может ли корнем линейного уравнения с одной переменной быть отрицательное число? Если да, то приведите пример.
6. Найдите корень уравнения 2х + 7 = 11.
7. Приведите пример линейного уравнения с одной переменной, имеющего своим корнем число:
а) 0; б) 2; в) -1.
8. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0 в случае, когда а ≠ 0.
9. Сформулируйте алгоритм решения линейного уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с).
10. Приведите пример таких значений а и Ь, при которых уравнение ах = b:
а) не имеет корней;
б) имеет бесконечное множество корней.