Макарычев 7. Преобразование выражений

Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке. Алгебра. 7 класс. Учебник / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под ред. С.А. Теляковского — 8-е издание. М.: Просвещение (2018). ГЛАВА I учебника. § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ.  (4. Свойства действий над числами. 5. Тождества. Тождественные преобразования выражений. Упражнения №№ 70 — 110. Контрольные вопросы и задания. Дополнительные упражнения №№ 223 — 232 к параграфу 2)

§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ

4. Свойства действий над числами

Напомним основные свойства сложения и умножения чисел.

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует:

Пример 1. Вычислим сумму 1,23 + 13,5 + 4,27.

⇒ Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим 1,23 + 13,5 + 4,27 = (1,23 + 4,27) + 13,5 = 5,5 + 13,5 = 19.

Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует:

Пример 2. Найдём значение произведения 1,8 • 0,25 • 64 • 0,5.

⇒ Объединив первый множитель с четвёртым, а второй – с третьим, получим 1,8 • 0,25 • 64 • 0,5 = (1,8 • 0,5) • (0,25 • 64) = 0,9 • 16 = 14,4.

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.

Например, для любых чисел а, b, с и d верно равенство а(b + с + d) = аb + ас + ad.

Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому: а – b = а + (–b).

Это позволяет числовое выражение вида а – b считать суммой чисел а и –b, числовое выражение вида а + b – с – d считать суммой чисел a, b, –с, –d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.

Пример 3. Найдём значение выражения 3,27 – 6,5 – 2,5 + 1,73.

⇒ Это выражение является суммой чисел 3,27, –6,5, –2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим 3,27 – 6,5 – 2,5 + 1,73 = (3,27 + 1,73) + (–6,5 – 2,5) = 5 + (–9) = –4.

Пример 4. Вычислим произведение 36 • (1/4 – 5/18).

⇒ Множитель 1/4 – 5/18 можно рассматривать как сумму чисел 1/4 и –5/18. Используя распределительное свойство умножения, получим

Упражнения

5. Тождества. Тождественные преобразования выражений

Найдём значения выражений 3 (х + у) и 3х + 3у при х = 5, у = 4:
3(х + у) = 3(5 + 4) = 3 • 9 = 27,
3х + 3у = 3 • 5 + 3 • 4 = 15 + 12 = 27.

Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3 (х + у) и 3х + 3у равны.

Рассмотрим теперь выражения 2х + у и 2ху. При х = 1, у = 2 они принимают равные значения:
2х + у = 2 • 1 + 2 = 4,
2ху = 2 • 1 • 2 = 4.

Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х = 3, у = 4, то

2х + у = 2 • 3 + 4 = 10,
2ху = 2 • 3 • 4 = 24.

Выражения 3(х + у) и 3х + 3у являются тождественно равными, а выражения 2х + у и 2ху не являются тождественно равными.

Равенство 3 (х + у) = 3х + 3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.

1 В дальнейшем понятия «тождественно равные выражения» и «тождество» будут уточнены.

Тождествами считают и верные числовые равенства. С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
а + b = b + а,    (а + b) + с = а + (b + с),
аb = bа,    (ab)c = а(bс),
а(b + с) = аb + ас.

Можно привести и другие примеры тождеств:
а + 0 = а,   а + (–а) = 0,   а – b = а + (–b),
а • 1 = а,   а • (–b) = –ab,   (–а)(–b) = ab.

Чтобы найти значение выражения ху – xz при заданных значениях х, у и z, надо выполнить три действия. Например, при х = 2,3, у = 0,8, z = 0,2 получаем
ху – xz = 2,3 • 0,8 – 2,3 • 0,2 = 1,84 – 0,46 = 1,38.

Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением х(у – z), тождественно равным выражению ху – xz:
х(у – z) = 2,3(0,8 – 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение ху – xz тождественно равным выражением х(у – z).

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.

Некоторые тождественные преобразования вам уже приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:

Пример 1. Приведём подобные слагаемые в сумме 5х + 2х – Зх.

Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых: 5х + 2х – Зх = (5 + 2 – 3) х = 4х.

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b – 3с).

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс»: 2а + (b – Зс) = 2а + b – Зс.

Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4b – с).

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»: а – (4b – с) = а – 4b + с. <

Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое –(4b – с) в виде произведения (–1)(4b – с):
а – (4b – с) = а + (–1) (4b – с).

Применив указанные свойства действий, получим
а – (4b – с) = а + (–1) (4b – с) = а + (–4b + с) = а – 4b + с.

Упражнения

Контрольные вопросы и задания

  1. Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения.
  2. Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений.
  3. Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.

 

Дополнительные упражнения к параграфу 2


Вы смотрели ознакомительную версию с цитатами из учебника: Алгебра. 7 класс. Учебник / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под ред. С.А. Теляковского — 8-е издание. М.: Просвещение (2018). ГЛАВА I. § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ.  (4. Свойства действий над числами. 5. Тождества. Тождественные преобразования выражений. Упражнения №№ 70 — 110. Контрольные вопросы и задания. Дополнительные упражнения №№ 223 — 232 к параграфу 2). Цитаты из учебника использованы в учебных целях.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *