Статистика и комбинаторика. Алгебра ч.1 (теория)

Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра. 7 класс. Учебник в 2 частях. Часть 1 / А.Г. Мордкович и др. (2019). Глава 1. Математический язык и модель (теория). § 6. Статистика и комбинаторика. Данные и ряды данных.


 

§ 6. Статистика и комбинаторика.
Данные и ряды данных (теория)


Вы смотрели ознакомительная версию с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра. 7 класс. Учебник в 2 частях. Часть 1 / А.Г. Мордкович и др. (2019). Глава 1. Математический язык и модель (теория). § 6. Статистика и комбинаторика. Данные и ряды данных.

OCR-версия данного раздела

Слово «статистика» — является однокоренным с латинским status (статус), что может быть переведено как «состояние дел». В XVII—XVIII вв. для статистических исследований использовали термин «политическая арифметика». В современном мире статистика является одним из важнейших комплексов теорий, методов, алгоритмов и рекомендаций по получению, обработке и анализу разнообразных данных об окружающей нас действительности.

Познакомимся с начальными понятиями статистики, используя для этого материал § 1—5. Вот простые линейные уравнения:
1) 2х = -4;
2) 4х = 25 — х;
3) 17 + х = 8;
4) 3(х + 2) — 2 = х;
5) 3 — х = 4 — (1 — 3х);
6) 16 — х — 2х + 1;
7) -4х — 8 = 0;
8) 12х — 11 = -11(х + 1);
9) 1 — х = 6 — 2х;
10) -2 — (3 — х) = -7.
Надеемся, вы без труда найдёте корни этих уравнений. Выпишем поочерёдно, в строчку эти корни:
-2, 5, -9, -2, 0, 5, -2, 0, 5, -2.
Мы получили набор расположенных в ряд чисел. Его называют рядом числовых данных или, проще, рядом данных. Количество всех данных, из которых состоит ряд, — это объём ряда данных. В нашем случае объём ряда данных равен 10.
Если объём ряда — небольшое число, то с данными такого ряда работать просто. Их все можно выписать, перечислить, упорядочить, выбрать нужные и т. п. А вот если объём равен, скажем, 1000 или 1 000000, то для обработки такого количества данных абсолютно необходимы компьютерные средства и технологии.
Вернёмся к нашему примеру с корнями линейных уравнений. Наименьший из корней равен -9, а наибольший равен 5. Значит, все корни принадлежат отрезку [-9; 5], длина которого равна 14.
В статистике говорят, что 14 — это размах ряда -2, 5, -9, -2, 0, 5, -2, 0, 5, -2. В общем случае размах ряда чисел — это разность между наибольшим и наименьшим числом из ряда. Чем меньше размах, тем «кучнее» на координатной прямой расположены данные. Наоборот, большой размах показывает, что некоторые из данных заметно отличаются друг от друга.
А какое число чаще всего встречается в нашем ряду? Число -2 стоит на 1-м, 4-м, 7-м и 10-м местах. Оно встретилось четыре раза — больше каждого из других чисел ряда. Говорят, что (-2) — это мода ряда -2, 5, -9, -2, 0, 5, -2, 0, 5, -2. Итак, мода ряда данных — это самое «модное» данное, то, которое чаще всего встречается в этом ряду. Мода ряда — ещё один важный статистический показатель. Мода бывает и у рядов данных, состоящих не из чисел. Например, если рассмотреть все данные о продажах легковых автомобилей в России за прошлый год, то модой будет марка наиболее покупаемого легкового автомобиля.

ПРИМЕР 1. На координатной прямой отмечены точки А(-4), В(-3), С(-2), D(-1), Е(2). Вычислить все расстояния между этими точками. Найти объём, размах и моду полученного ряда данных.
Решение. Координатная прямая помогает найти нужные расстояния (см. рис. 16): АВ = 1, АС = 2, AD = 3, АЕ = 6, ВС = 1, BD = 2, BE = 5, CD = 1, СЕ = 4, DE = 3. Получился ряд чисел 1, 2, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 4, 3. Он состоит из 10 чисел, наименьшее число равно 1, наибольшее равно 6, все числа принадлежат отрезку [1; 6], длина которого равна 5, а чаще всего (три раза) встречается число 1.
Ответ: Объём равен 10, размах равен 5, мода равна 1.

Заметим, что объём ряда из примера 1 можно было найти до вычисления всех расстояний. Смотрите, всего есть 5 точек А, В, С, D, Е. Для точки А нужно вычислить четыре расстояния АВ, АС, AD, АЕ. Для точки В нужно вычислить три расстояния ВС, BD, BE: ведь расстояние ВА = АВ уже учтено. Для точки С останутся CD и СЕ, а для точки D — только DE. Всего получается 4 + 3 + 2 + 1 = 10 попарных расстояний между пятью точками.
Вот другая версия этого же рассуждения: «Встретились 5 друзей, и каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?» Если обозначить друзей А, В, С, D, Е, то АВ, АС, …, DE будут обозначать все рукопожатия. Их 10 штук. А вот ещё один вариант: «Каждую вершину правильного пятиугольника соединили отрезком с каждой. Сколько провели отрезков?» Ясно, что и решение, и ответ — те же.

У всех этих разных по форме вопросов есть общая (словесная) математическая модель: «Даны пять элементов. Из них нужно выбрать два элемента, без учёта их порядка. Сколькими способами это можно сделать?» Ответ на такой вопрос мы уже получили: 10.
Здесь мы встретились с одной из типичных задач комбинаторики. Этот термин впервые использовал Готфрид Лейбниц в своей «Диссертации о комбинаторном искусстве», 1666 г. Грубо говоря, комбинаторика — это искусство подсчёта числа различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок и т. п. тех или иных элементов некоторых множеств. С одним из основных правил комбинаторики, правилом умножения, вы уже встречались в 5-м и в б-м классах. Напомним его.

Правило умножения. Если предмет А первого типа можно выбрать n способами, после каждого из которых предмет В второго типа можно выбрать m способами, то пару предметов (А, В) можно выбрать nm способами.
Например, если в левом кармане лежат 7 монет, а в правом кармане лежат 9 монет, то имеется 7 • 9 = 63 способа выбрать одну монету из левого кармана и одну — из правого кармана.

ПРИМЕР 2. В выражение ах + by вместо а и b подставляют одно из чисел 1, 2, …, 8, 9.
а) Сколько всего различных выражений с переменными х и у может получиться?
Сколько среди них будет выражений, в которых:
б) b равно 7 или 9?
в) а в два раза больше, чем b
г) а чётно, b нечётно?
Решение. а) Коэффициент а можно выбрать 9 способами, после каждого из которых коэффициент b можно выбрать также 9 способами. По правилу умножения получаем 9 • 9 = 81.
б) Как и выше, а можно выбрать 9 способами, после каждого из которых b можно выбрать 2 способами: b равно 7 или 9. По правилу умножения получаем 9 • 2 = 18.
в) В этом случае а будет чётным числом. Значит, а можно выбрать 4 способами: а равно или 2, или 4, или 6, или 8. Но как только а будет выбрано, для выбора b остаётся один способ: b = a/2.
Получаем ответ: 4 * 1 = 4. Наверное, тут проще просто перебрать все нужные пары (а; b).
г) Как и в пункте в), число о можно выбрать 4 способами: а равно или 2, или 4, или 6, или 8. После каждого из них Ъ можно выбрать 5 способами: b равно или 1, или 3, или 5, или 7, или 9. По правилу умножения получаем ответ: 4 • 5 = 20.
Ответ а) 81; б) 18; в) 4; г) 20.

Вопросы для самопроверки
1. Найдите объём, размах и моду ряда данных 13, 7, 8, 11, 19, 13, 10, 10, 10, 13, 20, 19, 13.
2. Приведите пример ряда, у которого объём равен 7, размах равен нулю, а мода равна 70.
3. Какой из трёх показателей (объём, размах, мода) всегда будет натуральным числом?
4. Какие из трёх показателей (объём, размах, мода) могут оказаться равными нулю?
5. Какой из трёх показателей (объём, размах, мода) может оказаться отрицательным числом?
6. Числа в ряду данных записали в каком-то другом порядке. Какой из показателей (объём, размах, мода) при этом изменился?
7. Встретились 3 друга, и каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?
8. Каждую вершину квадрата соединили отрезком с каждой. Сколько провели отрезков?
9. В классе 14 мальчиков и 11 девочек. Сколькими способами можно составить пару «мальчик-девочка»?

Основные результаты

  • В этой главе мы с вами вспомнили, что такое числовое выражение и его значение, что такое алгебраическое выражение и его значение; вспомнили мы и законы сложения и умножения.
  • Познакомились с основными понятиями математики: математический язык, математическая модель.
  • Сформулировали три этапа математического моделирования при решении текстовых задач.
  • Мы узнали, что существуют различные виды математических моделей: алгебраическая, графическая, геометрическая, словесная.
  • Вспомнили, что такое линейное уравнение и его корень, сформулировали алгоритм решения линейного уравнения.
  • Вспомнили, что такое координатная прямая и координата точки на координатной прямой.
  • Узнали, как находить расстояние р(а;b) между точками а и b координатной прямой: р(а;b) = |а — b|.
  • Мы научились различать виды числовых промежутков на координатной прямой: луч, открытый луч, отрезок, интервал, полуинтервал.
  • Мы познакомились с первыми понятиями статистики: ряд данных, объём ряда данных, размах ряда данных, мода ряда данных.
  • Мы вспомнили, как используется правило умножения при решении простейших комбинаторных задач.

Темы исследовательских работ

  1. Линейные уравнения с одной переменной.
  2. Линейные уравнения как математические модели реальных ситуаций.
  3. Ряды данных. Объём, размах и мода ряда данных.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *