Итоговая диагностическая работа по математике с ответами углубленный уровень 7 класс МЦКО 2026 год. Часть 2-я: Геометрия, ВиС. Код материалов: Математика Угл.ур. Демоверсия 2026 ч2.
Вернуться с спику работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Математика. Демонстрационная
версия 2026, часть 2: Геометрия, ВиС (угл.)
№ 1. Угол В треугольника АВС равен 62°. Внешний угол при вершине А равен 138°. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине С.
Решение:
1. Внешний угол при вершине А равен 138°, значит внутренний угол А равен:
180° ─ 138° = 42°.
2. В треугольнике сумма внутренних углов равна 180°:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
42° + 62° + ∠C = 180°
104° + ∠C = 180°
∠C = 180° ─ 104° = 76°.
3. Внешний угол при вершине С равен:
180° ─ ∠C = 180° ─ 76° = 104°.
✅ Ответ: 104
№ 2. Укажите все верные утверждения.
а) Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в 2 раза больше другого.
б) В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в 2 раза меньше другого.
в) При пересечении двух любых прямых сумма пары образованных ими вертикальных углов равна 180°.
г) В любом треугольнике длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон.
Решение:
► а) Верно. Пример: углы 72°, 72°, 36° — равнобедренный, угол при вершине 72° в 2 раза больше угла при основании 36°.
► б) Неверно. Это не обязательно для любого прямоугольного треугольника (например, катеты 3 и 4).
► в) Неверно. Вертикальные углы равны, их сумма не 180°, а равна удвоенному значению одного из них, но не обязательно 180° (например, вертикальные углы по 30° и 30°, сумма 60°).
► г) Верно. Это неравенство треугольника.
✅ Ответ: а, г
№ 3. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АН = 54, ВС = ВМ. Найдите длину стороны АС.
Дано: треугольник ABC; BM — медиана; BH — высота; AH = 54; BC = BM.
Требуется найти: длину стороны AC.
Шаг 1. Обозначим ключевые точки и отрезки
Поскольку BM — медиана, точка M — середина стороны AC, то есть AM = MC = (AC) / 2.
Пусть AC = 2x, тогда AM = MC = x.
Высота BH опущена на сторону AC (или её продолжение), поэтому ∠BHA = 90°.
По условию AH = 54.
Шаг 2. Выразим HM через x
Точка H лежит на отрезке AC, и AH = 54. Тогда:
если H между A и M, то HM = AM ─ AH = x ─ 54;
если H между M и C, то HM = AH ─ AM = 54 ─ x.
Пока оставим оба варианта.
Шаг 3. Применим свойство медианы и теорему Пифагора
Рассмотрим треугольник BHM:
∠BHM = 90° (так как BH — высота);
BM = BC (по условию);
по теореме Пифагора: BM² = BH² + HM².
Рассмотрим также треугольник ABH: ∠AHB = 90°;
по теореме Пифагора: AB² = AH² + BH² = 54² + BH².
Шаг 4. Выразим BC через BH и HC
В треугольнике BHC: ∠BHC = 90°;
HC = AC ─ AH = 2x ─ 54;
по теореме Пифагора: BC² = BH² + HC² = BH² + (2x ─ 54)².
Но BC = BM, поэтому:
BM² = BC² ⇒ BH² + HM² = BH² + (2x ─ 54)²
Сокращаем BH²:
HM² = (2x ─ 54)²
Шаг 5. Рассмотрим два случая для HM
Случай 1. H между A и M: HM = x ─ 54
(x ─ 54)² = (2x ─ 54)²
Раскрываем скобки:
x² ─ 108x + 2916 = 4x² ─ 216x + 2916
Упрощаем: 0 = 3x² ─ 108x ⇒ 3x(x ─ 36) = 0
Корни: x = 0 (не подходит) или x = 36.
Тогда AC = 2x = 72. Но проверим расположение точек:
AM = 36, AH = 54, но 54 > 36 — противоречие (точка H не может быть между A и M).
Случай 2. H между M и C: HM = 54 ─ x
(54 ─ x)² = (2x ─ 54)²
Раскрываем скобки:
2916 ─ 108x + x² = 4x² ─ 216x + 2916
Упрощаем: 0 = 3x² ─ 108x ⇒ 3x(x ─ 36) = 0
Корни: x = 0 (не подходит) или x = 36.
Тогда: AC = 2x = 72;
AM = MC = 36;
HM = 54 ─ 36 = 18;
HC = AC ─ AH = 72 ─ 54 = 18.
Проверим условие BC = BM:
из треугольника BHM: BM² = BH² + 18²;
из треугольника BHC: BC² = BH² + 18².
Таким образом, BM = BC, что соответствует условию.
✅ Ответ: 72
№ 4. Даны треугольники АВС и ADC, причём точки В и D лежат по разные стороны от прямой АС. Углы АВС и ADC равны 77° и 74° соответственно. Найдите градусную меру угла BAD, если АВ = АС = AD.
Решение:
1. AB = AC ⇒ треугольник АВС равнобедренный с вершиной А ⇒ ∠ABC = ∠ACB = 77°.
Тогда ∠BAC = 180° ─ 77° ─ 77° = 26°.
2. AD = AC ⇒ треугольник ADC равнобедренный с вершиной А ⇒ ∠ADC = ∠ACD = 74°.
Тогда ∠DAC = 180° ─ 74° ─ 74° = 32°.
3. Точки В и D по разные стороны от АС ⇒ угол BAD = ∠BAC + ∠DAC = 26° + 32° = 58°.
✅ Ответ: 58
№ 5. Катя младше Тани, но старше Даши. Ксюша не младше Даши. Укажите номера истинных утверждений.
а) Таня и Даша одного возраста.
б) Среди указанных девочек нет никого младше Даши.
в) Таня старше Даши.
г) Таня и Катя одного возраста.
Решение. Из условий:
Т > К > Д (Таня старше Кати, Катя старше Даши).
Ксюша не младше Даши ⇒ Кс ≥ Д.
► а) Ложно — Таня старше Даши.
► б) Ложно — Даша самая младшая среди Т, К, Д, но Ксюша может быть того же возраста, что Даша, или старше. Но «нет никого младше Даши» — верно, потому что младше Даши в списке никого нет (Ксюша не младше). Но условие «среди указанных девочек» — все 4: Т, К, Д, Кс. Даша младше Тани и Кати, но Ксюша может быть ровесницей Даши, значит Даша не обязательно строго младше всех. Но «нет никого младше Даши» значит возраст Даши ≤ возраст любой другой. Это неверно, потому что Таня и Катя старше Даши ⇒ есть те, кто младше Даши? Нет, те, кто младше Даши — никто. Младше — значит строго меньше по возрасту. Все остальные либо старше, либо не младше. Поэтому б) истинно.
► в) Истинно — из Т > К > Д следует Т > Д.
► г) Ложно — Таня старше Кати.
✅ Ответ: б, в.
Прочитайте текст и выполните задания 6.1 и 6.2.
Объём воды в крупных водоёмах измеряют в кубических километрах (1 км3 = 1 млрд м3). В таблице указаны некоторые описательные характеристики объёмов пяти крупнейших водохранилищ Европейской части России: Волгоградского, Куйбышевского, Сегозера, Цимлянского и Рыбинского.
Ниже даны четыре диаграммы, показывающие долю каждого водохранилища в их общем объёме. Только одна из диаграмм верная.
№ 6.1. Укажите номер верной диаграммы.
Решение. Дано:
─ Среднее арифметическое объёмов пяти водохранилищ = 32 км³.
─ Медиана = 25 км³.
─ Максимум = 57 км³.
─ Минимум = 23 км³.
Общий объём = среднее × количество = 32 × 5 = 160 км³.
Проверим диаграммы по доле Куйбышевского водохранилища:
► 1) >26% → объём > 0,26 × 160 = 41,6 км³.
► 2) >45% → объём > 0,45 × 160 = 72 км³ — но максимум 57 км³, значит, этот вариант невозможен.
► 3) ≈35% → 0,35 × 160 = 56 км³ — возможно (максимум 57).
► 4) ≈35% → тоже 56 км³ — возможно.
Теперь медиана = 25 км³. Значит, третий по величине объём = 25 км³.
В варианте 3: доли ≈35%, 25%, 15%, 15%, 10% → объёмы ≈56, 40, 24, 24, 16 км³.
Упорядочим: 56, 40, 24, 24, 16 → медиана = 24 км³ (подходит ≈25).
В варианте 4: доли ≈35%, 20%, 15%, 15%, 15% → объёмы ≈56, 32, 24, 24, 24.
Упорядочим: 56, 32, 24, 24, 24 → медиана = 24 км³ (тоже подходит).
Проверим минимум и максимум:
В варианте 3: минимум 16 км³ — не подходит, так как дан минимум 23 км³.
В варианте 4: минимум 24 км³ — подходит (≈23). Максимум 56 км³ — подходит (≈57).
Значит, верный вариант 4.
✅ Ответ: 4
№ 6.2. Найдите примерный объём Волгоградского водохранилища (в км³).
Решение. Из верной диаграммы 4: доля Волгоградского ≈20%.
Общий объём = 160 км³.
Объём Волгоградского = 0,20 × 160 = 32 км³.
✅ Ответ: 32
№ 7. У графа семь вершин степени 4 и ещё шесть вершин степени 3. Других вершин в этом графе нет. Сколько рёбер в этом графе?
Решение. Число вершин: 7 + 6 = 13.
Сумма степеней всех вершин = 7×4 + 6×3 = 28 + 18 = 46.
В графе сумма степеней = удвоенному числу рёбер 2m.
2m = 46 ⇒ m = 23.
✅ Ответ: 23.
Прочитайте текст и выполните задания 8.1 и 8.2.
В институте используется десятибалльная система оценки знаний студентов. Средняя оценка вычисляется как среднее арифметическое. Преподаватель дал одну и ту же контрольную работу в двух группах. Результаты представлены в таблице.
№ 8.1. Найдите среднюю оценку всех студентов за эту работу.
Решение
Группа 1: 20 студентов, средняя 8,2 ⇒ сумма баллов = 20 × 8,2 = 164.
Группа 2: 30 студентов, средняя 7,8 ⇒ сумма баллов = 30 × 7,8 = 234.
Общая сумма = 164 + 234 = 398.
Общее число студентов = 20 + 30 = 50.
Средняя оценка всех = 398 / 50 = 7,96.
✅ Ответ: 7,96
№ 8.2. Несколько студентов переписали работу, и каждый получил на 1 балл больше, чем при первой попытке. В результате средняя оценка всех студентов стала равной 8. Сколько студентов переписало работу?
Решение. Пусть x студентов переписали работу.
Их сумма баллов увеличилась на x(каждый + 1 балл).
Новая сумма баллов всех студентов = 398 + x.
Новая средняя = (398 + x) / 50 = 8.
398 + x = 400 ⇒ x = 2.
Проверка:
Новая сумма = 398 + 2 = 400, студентов 50, средняя = 400/50 = 8. Верно.
✅ Ответ: 2.
Вы смотрели: Итоговая диагностическая работа по математике с ответами углубленный уровень 7 класс МЦКО 2026 год. Часть 2-я: Геометрия. Код материалов: Математика Угл.ур. Демоверсия 2026 ч2.