Математическая вертикаль: 7.5.3 Выделение полного квадрата. Учебник по алгебре для 7 класса (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
7.5.3 Выделение полного квадрата
Теория
Число, являющееся квадратом какого-нибудь натурального числа (например, 49 = 72 или 4 = 22), называется точным квадратом. Аналогично о многочлене, который можно представить в виде квадрата некоторого другого многочлена, говорят, что он является полным квадратом.
Например, полными квадратами являются многочлены 4x2 + 24x + 36 и 9a2 + 25b2 − 30ab, поскольку
4x2 + 24x + 36 = (2x)2 + 2 • 2x • 6 + 62 = (2x + 6)2,
9a2 + 25b2 − 30ab = (3a)2 − 2 • 3a • 5b + (5b)2 = (3a − 5b)2.
Конечно, далеко не любой трёхчлен является полным квадратом. Например, рассмотрим многочлен 16x2 − 40x + 20. Давайте попробуем установить соответствие между его слагаемыми и элементами правой части формулы квадрата разности (a – b)2 = a2 − 2ab + b2 (почему именно квадрата разности, станет понятно в процессе). В роли a2, скорее всего, выступает 16x2, ведь это готовый квадрат: 16x2 = (4x)2. Тогда в предполагаемом удвоенном произведении переменная x тоже должна присутствовать, значит, удвоенным произведением должно быть 40x. Однако перед этим одночленом стоит знак минус, значит, сворачивать нужно именно по формуле квадрата разности.
Согласно этой формуле, удвоенное произведение — это 2ab. Если мы решили, что a равно 4x, то 2ab = 2 • 4x • ? = 40x. Поскольку 40 = 2 • 4 • 5, вместо вопросительного знака будет стоять число 5, которое и должно соответствовать множителю b. Тогда b2 = 25, но вместо этого в исходном многочлене стоит слагаемое 20.
Итак, свернуть трёхчлен 16x2 − 40x + 20 в квадрат двучлена нам не удалось. Но давайте поставим задачу по-другому: какое число нужно добавить к этому выражению, чтобы получился полный квадрат? Легко понять, что выражению 16x2 − 40x + 20 не хватает до полного квадрата числа 25 − 20 = 5. И если мы прибавим к этому трёхчлену 5, то получим правильный элемент b2 формулы квадрата разности, а значит, получившееся выражение будет полным квадратом:
(︀16x2 − 40x + 20)︀ + 5 = 16x2 − 40x + 25 = (4x − 5)2.
Побудем «сыщиками» ещё в одном примере: попробуем отыскать части, которые можно добавить к трёхчлену для того, чтобы получился какой-нибудь полный квадрат. Вот наше очередное «расследование».
Базовый уровень.
Домашняя работа (с ответами)
Задача 1. Дополните выражение до трёхчлена, который можно представить в виде квадрата некоторого двучлена: x2 + 22х + ___.
ОТВЕТ: x2 + 22х + 121.
Задача 2. Дополните выражение до трёхчлена, который можно представить в виде квадрата некоторого двучлена: 4a2 + 9b2 + ___.
ОТВЕТ: 4a2 + 9b2 + 12ab.
Задача 3. Для каждого многочлена укажите одночлен, который нужно прибавить к этому многочлену, чтобы полученное выражение стало квадратом некоторого двучлена с целыми коэффициентами.
| Многочлены: | 16x2 + 10xy + y2 | 9x2 + 8xy + 4y2 | 10x2 + 10xy + 25y2 |
| Одночлены: | –9x2 | 4xy | –2xy |
ОТВЕТЫ: (16x2 + 10xy + y2) — 2xy; (9x2 + 8xy + 4y2) + 4xy; (10x2 + 10xy + 25y2) – 9x2.
Задача 4. Заполните пропуск одночленом так, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами: y2 + 35x2 + 18xy + ___.
ОТВЕТ: y2 + 35x2 + 18xy + 46x2.
Задача 5. Выделите полный квадрат в выражении x2 + 6х + 28.
ОТВЕТ: (х + 3)2 + 19.
Углублённый уровень.
Домашняя работа (с ответами)
Задача 1. Для каждого многочлена укажите одночлен, который нужно прибавить к этому многочлену, чтобы полученное выражение стало квадратом некоторого двучлена с целыми коэффициентами.
| Многочлены: | 16x2 + 10xy + y2 | 9x2 + 8xy + 4y2 | 10x2 + 10 xy + 25y2 |
| Одночлены: | –9x2 | 4xy | –2xy |
ОТВЕТ: (16x2 + 10xy + y2) – 2xy; (9x2 + 8xy + 4y2) + 4xy; (10x2 + 10xy + 25y2) – 9x2.
Задача 2. Заполните пропуск одночленом так, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами: y2 + 35x2 + 18xy + ___.
ОТВЕТ: y2 + 35x2 + 18xy + 46x2.
Задача 3. Заполните пропуск одночленом так, чтобы полученный многочлен можно было представить в виде квадрата двучлена с целыми коэффициентами: 16x2 + 37xy + 9y2 – ___.
ОТВЕТ: 16x2 + 37xy + 9y2 – 13xy.
Задача 4. Выделите полный квадрат в выражении 4y2 + 16у + 5.
ОТВЕТ: (2у + 4)2 – 11 или 4(у + 2)2 – 11.
Задача 5. Выделив полный квадрат, найдите наименьшее значение выражения y2 + 8у + 19.
ОТВЕТ: 3.
Задача 6. Найдите наибольшее значение выражения 10(4x – 4) – 16(x – 1)(х + 1).
ОТВЕТ: 1.
Вы смотрели: Математическая вертикаль: 7.5.3 Выделение полного квадрата. Учебник по алгебре для 7 класса (не издается, только электронно).