Математическая вертикаль: 7.6.2 Основная теорема арифметики. Учебник по алгебре для 7 класса (не издается, только электронно). Ознакомительный фрагмент (цитаты) из пособия использован в учебных целях для семейного и домашнего обучения (в отсутствии Интернета), а также для дистанционного обучения в период невозможности посещения образовательного учреждения (при недоступности Интернета).
Вернуться в ОГЛАВЛЕНИЕ учебника
7.6.2 Основная теорема арифметики
Теория
Многое в нашем мире состоит из частей поменьше: стена дома — из кирпичей, компьютер — из микросхем, процессоров и прочих деталей, вещества — из молекул. Уметь раскладывать объект на мелкие части очень важно: так можно понять свойства этого объекта, научиться правильно его использовать.
Точно так же дело обстоит и с числами. Возьмём, например, число 462. Делится ли это число, скажем, на 7? Сходу сложно ответить на этот вопрос, а деление в столбик занимает время. Давайте попробуем разложить это число на множители. Мы видим, что оно оканчивается на 2, а значит (по признаку делимости на 2), делится на 2: 462 = 2 ・ 231.
Заметим, что 231 делится на 3 (так как 2 + 3 + 1 = 6). Тогда 462 = 2 ・ 3 ・ 77.
Число 77 можно разложить ещё раз, в произведение чисел 7 и 11. Получается, что число 462 состоит из четырёх «кирпичиков»: 2, 3, 7 и 11. Теперь сразу видно, что число 462 делится на 7. Удобно, не так ли?
Отметим, что дальше мы раскладывать на множители не можем, так как 2, 3, 7 и 11 — простые числа. Напомним определение: число называется простым, если оно делится только на единицу и на себя. Таким образом, мы записали разложение числа 462 на простые множители.
Может возникнуть вопрос: а если бы мы разделили число 462 сначала на 7, каким бы получился набор простых множителей? Вдруг он был бы другим? Оказывается, разложение числа на простые множители всегда одно и то же. Утверждение о единственности разложения числа на простые множители называют основной теоремой арифметики.
Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число, большее единицы, представляется в виде произведения простых чисел, причём такое представление единственно с точностью до перестановки множителей.
Базовый уровень.
Домашняя работа (с ответами)
Задача 1. Какие из чисел 4650, 3830, 985, 3495, 6798 делятся на 15?
ОТВЕТ: 4650, 3495.
Задача 2. Какие из чисел 8080, 7884, 6522, 13 807, 4140 делятся на 12?
ОТВЕТ: 7884, 4140.
Задача 3. Запишите число 135 в виде произведения степеней простых чисел.
ОТВЕТ: 33 • 5.
Задача 4. Запишите число 232 в виде произведения степеней простых чисел.
ОТВЕТ: 23 • 29.
Задача 5. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 20 и 39.
ОТВЕТ: НОД(20, 39) = 1; НОК(20, 39) = 780.
Задача 6. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 12 и 220.
ОТВЕТ: НОД(12, 220) = 4; НОК(12, 220) = 660.
Углублённый уровень.
Домашняя работа (с ответами)
Задача 1. Запишите число 135 в виде произведения степеней простых чисел.
ОТВЕТ: 33 • 5.
Задача 2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 12 и 220.
ОТВЕТ: НОД(12, 220) = 4; НОК(12, 220) = 660.
Задача 3. Найдите наибольший общий делитель чисел 252 и 480.
ОТВЕТ: 12.
Задача 4. Какие из чисел 1565, 17 380, 960, 5644, 2130 делятся на 20?
ОТВЕТ: 17 380, 960.
Задача 5. На какие из чисел 6, 12, 18, 20, 22 делится число 3036?
ОТВЕТ: 6, 12, 22.
Задача 6. Оля хочет узнать, делится ли некоторое число на 264. Выберите, делимость на какие числа ей нужно для этого проверить?
1) 3, 4 и 11; 2) 3, 8 и 11; 3) 2, 3 и 11; 4) 4 и 66; 5) 8, 9 и 11.
ОТВЕТ: 2).
Вы смотрели: Математическая вертикаль: 7.6.2 Основная теорема арифметики. Учебник по алгебре для 7 класса (не издается, только электронно).