7 класс Онлайн

1. Основные понятия

В конце § 3 мы говорили, что нужно уметь свободно переходить от одного вида математической модели к другому, выбирать то, что удобнее. В этой связи весьма полезна известная из курса математики 5—6-го классов такая графическая модель, как координатная прямая.
Прямую l, на которой выбрана начальная точка О (начало отсчёта), масштаб (единичный отрезок, т. е. отрезок, длина которого считается равной единице) и положительное направление, называют координатной прямой или координатной осью (рис. 3); употребляют также термин «ось х» («ось у», «ось г» и т. д.).
Каждому числу соответствует единственная точка координатной прямой. Например, числу 3,5 соответствует точка М (рис. 4), которая удалена от начала отсчёта, т. е. от точки О, на расстояние, равное 3,5 (в заданном масштабе), и отложена от точки О в заданном (положительном) направлении. Числу -4 соответствует точка Р (см. рис. 4), которая удалена от точки О на расстояние, равное 4, и отложена от точки О в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном заданному.
Можно говорить и о решении обратной задачи. Например, точка К, удалённая от точки О на расстояние 5,4 в положительном (заданном) направлении, соответствует числу 5,4, а точка N, удалённая от точки О на расстояние 2,3 в отрицательном направлении, соответствует числу -2,3 (см. рис. 4).
Указанные числа называют координатами соответствующих точек. Так, на рисунке 4 точка К имеет координату 5,4; точка Р — координату -4; точка М — координату 3,5; точка N — координату -2,3; точка О — координату 0 (нуль). Отсюда и происходит название — «координатная прямая». Образно выражаясь, координатная прямая — это густозаселённый дом, жильцы этого дома — точки, а координаты точек — это номера квартир, в которых живут точки-жильцы.

Зачем нужна координатная прямая? Зачем характеризовать точку числом, а число — точкой? Есть ли в этом какая-либо польза? Да, есть.
Пусть, например, на координатной прямой даны две точки: А — с координатой а и B — с координатой b (обычно в таких случаях пишут короче: А(а), В(b)). Пусть нам надо найти расстояние р между точками А и В. Оказывается, вместо того чтобы делать геометрические измерения, достаточно воспользоваться готовой формулой р(А, В) = |а — b| (р — «ро» — буква греческого алфавита; впрочем, вместо р(А, В) можно писать просто АВ).
Так, на рисунке 4 имеем:
КМ = |5,4 — 3,5| = |1,9| = 1,9;
РМ = |-4 — 3,5| = |—7,5| = 7,5;
PN = |-4 — (-2,3)| = |-4 + 2,3| = |—1,7| = 1,7.

Стремясь к лаконичности рассуждений, математики договорились вместо длинной фразы «точка А координатной прямой, имеющая координату а» использовать короткую фразу «точка а» и на чертеже рассматриваемую точку обозначать её координатой. Так, на рисунке 5 изображена координатная прямая, на которой отмечены точки: -4; -2,3; 0; 1; 3,5; 5,4.
Координатная прямая даёт нам возможность свободно переходить с алгебраического языка на геометрический и обратно. Пусть, например, число а меньше числа b. На алгебраическом языке это записывают так: а < b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b. Впрочем, подчеркнём ещё раз: и алгебраический, и геометрический языки — это разделы одного и того же математического языка, который мы с вами изучаем.

2. Виды числовых промежутков

Познакомимся ещё с несколькими элементами математического языка, которые связаны с координатной прямой.
1. Пусть на координатной прямой отмечена точка а. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой правее точки а, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 6). Это множество точек (чисел) называют открытым лучом и обозначают (a; +oo), где знак +оо читают так: «плюс бесконечность»; оно характеризуется неравенством х > а (под x понимают любую точку луча).
Обратите внимание: точка а открытому лучу не принадлежит. Если же эту точку надо присоединить к открытому лучу, то пишут х ≥ а или [а; +oо) (перед а ставят не круглую, а квадратную скобку), а на чертеже такую точку обозначают не светлым, как на рисунке 6, а закрашенным кружком (рис. 7). Если про множество точек (а; +oo) говорят, что это — открытый луч, то для множества точек [а; +oо) употребляют термин луч (без прилагательного «открытый»).
2. Пусть на координатной прямой отмечена точка b. Рассмотрим все точки, которые лежат на прямой левее точки Ь, и отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 8). Это множество точек (чисел) также называют открытым лучом и обозначают (-oo; b), где знак читается: «минус бесконечность». Оно характеризуется неравенством х < b.
Снова обращаем ваше внимание на то, что точка b открытому лучу не принадлежит. Если же мы эту точку хотим присоединить к открытому лучу, то будем писать х ≤ b или (-oo; b] и на чертеже точку b закрашивать (рис. 9); для (—оo; b] также будем употреблять термин луч.
3. Пусть на координатной прямой отмечены точки а и b, причём а < b (т.е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b; отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 10). Это множество точек (чисел) называют интервалом и обозначают (а; b). Оно характеризуется строгим двойным неравенством а < х < b (под х понимается любая точка интервала).
Обратите внимание: интервал (а; b) есть пересечение (общая часть) двух открытых лучей (-оо; b) и (а; +oo) — это хорошо видно на рисунке 11.
Если к интервалу (а; b) добавить его концы, т. е. точки а и b, то получится отрезок [а; b] (рис. 12), который характеризуется нестрогим двойным неравенством а < х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены тёмными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.
Отрезок [а; b] есть пересечение (общая часть) двух лучей (-oo; b] и [а; +oo) — это хорошо видно на рисунке 13.
А что получится, если к интервалу (а; b) добавить только один конец — только точку а (рис. 14) или только точку b (рис. 15)? Получится полуинтервал, который в первом случае обозначают [a; b), а во втором — (а; b] и который характеризуется с помощью двойных неравенств: а ≤ х < b — в первом случае, а < х ≤ b — во втором случае.
Итак, мы ввели пять новых терминов математического языка: луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал. Есть и общий термин: числовой промежуток.
Сама координатная прямая также считается числовым промежутком; для неё используют обозначение (-oo; +oo).

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ЧИСЛОВЫХ ПРОМЕЖУТКОВ

Вопросы для самопроверки
1. Что такое координатная прямая? Чем она отличается от обычной прямой?
2. Как найти координату точки на координатной прямой?
3. Дано число а. Как на координатной прямой найти точку с координатой а?
4. Чему на координатной прямой равно расстояние между точками:
а)А(2) и В(5); б) С(-3) и D(-7); в) Е(-2) и F(8); г) М(а) и N(b)?
5. Какие виды числовых промежутков на координатной прямой вы знаете? Приведите примеры луча, открытого луча, отрезка, интервала, полуинтервала. Изобразите указанный вами числовой промежуток на координатной прямой и приведите соответствующую запись в виде неравенства.