Алгебра 7 класс. Часть 1 Учебник. Мордкович. (Мнемозина, 2019). Глава 2. Линейная функция. § 10. Линейная функция у = kx. Ознакомительная версия. Цитаты из учебника использованы в учебных целях.
Часть 1 (учебник). Глава 2. Линейная функция
§ 10. Линейная функция у = kx
Вы смотрели ознакомительная версию с цитатами из учебника для принятия решения о покупке книги: Алгебра. 7 класс. Учебник в 2 частях. Часть 1 / А.Г. Мордкович. (Мнемозина, 2019). Глава 2. Линейная функция (теория). § 10. Линейная функция у = kx.
§10 ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ y = kx
При рассмотрении линейных функций у = kx + m особо выделяют случай, когда m = 0; тогда линейная функция принимает вид у = kx.
ТЕОРЕМА 3. Графиком линейной функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат.
Доказательство. Осуществим доказательство в два этапа.
1) у = kx — частный случай линейной функции, а графиком линейной функции является прямая (по теореме 2, § 9); обозначим её через I.
2) Пара х = 0, у = 0 удовлетворяет уравнению у = kx, а потому точка (0; 0) принадлежит графику уравнения у = kx, т. е. прямой I.
Следовательно, прямая I проходит через начало координат. Теорема доказана.
Надо уметь переходить не только от аналитической модели у = kx к геометрической, но и от геометрической модели к аналитической. Рассмотрим, например, прямую на координатной плоскости хОу, изображённую на рисунке 49. Она является графиком линейной функции у = kx, нужно лишь найти значение коэффициента k. Так как k = то достаточно взять любую точку на прямой и найти отношение ординаты этой точки к её абсциссе. Прямая проходит через точку Р(3; 6), а для этой точки имеем 6/3 = 2. Значит, k = 2, а потому заданная прямая линия служит графиком линейной функции у = 2х.
График линейной функции у = kx обычно строят так: берут точку (1; k) (если х = 1, то из равенства у = kx находим, что у = k) и проводят прямую через эту точку и начало координат. Впрочем, в случае необходимости точку (1; k) можно заменить другой точкой, более удобной. На рисунке 50 изображены графики линейных функций у = х (прямая l1), у = 2х (прямая l2), y = х/3 (прямая l3), у = -2х (прямая l4).
Обратите внимание: от коэффициента k зависит угол, который построенная прямая образует с положительным направлением оси х; заметим, что этот угол отсчитывают от оси х в направлении против часовой стрелки. Если k > 0, то этот угол острый (так обстоит дело на рис. 50 с прямыми l1, l2, l3, если k < 0, то этот угол тупой (так обстоит дело на рис. 50 с прямой Д). Далее, если k > 0, то чем больше k, тем больше угол. Так, на рисунке 50 для прямой 13 имеем k = -, для прямой li имеем k = 1, для прямой 12 имеем k = 2; при увеличении коэффициента k увеличивается и угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Поэтому коэффициент k в записи у = kx называют угловым коэффициентом.
На рисунке 51 изображены графики линейных функций у = 2х — 4, у = 2х + 6. Оба они параллельны графику линейной функции у = 2х, только первая прямая (у = 2х — 4) получается из прямой у = 2х сдвигом вниз на 4 единицы масштаба, а вторая прямая (у = 2х + 6) получается из прямой у = 2х сдвигом вверх на б единиц масштаба.
Справедлив следующий общий результат, который мы оформим в виде теоремы.
ТЕОРЕМА 4. Прямая, служащая графиком линейной функции у = kx + m, параллельна прямой, служащей графиком линейной функции у = kx.
Вследствие этого коэффициент k в записи линейной функции у = kx + m также называют угловым коэффициентом. Если k > 0, то прямая у = kx + m образует с положительным направлением оси х острый угол (см. рис. 47, а), а если k < 0, — тупой угол (см. рис. 47, б).
Вопросы для самопроверки
- Что представляет собой график линейной функции у = kx и как его построить?
- Почему в уравнении у = kx коэффициент k называют угловым?
- Что вы можете сказать о взаимном расположении графиков функций у = kх + m и у = kx?
- Какой угол (острый или тупой) образует прямая у = kx + m с положительным направлением оси Ох при k > 0 и при k < 0?