7 класс Онлайн

Числовые выражения. В младших классах вы учились оперировать с целыми и дробными числами, решали уравнения, знакомились с геометрическими фигурами, с координатной прямой и координатной плоскостью. Всё это составляло содержание одного школьного предмета «Математика». В действительности такая важная область науки как математика подразделяется на огромное число самостоятельных дисциплин: алгебру, геометрию, теорию вероятностей, математический анализ, математическую логику, математическую статистику, теорию игр и т.д. У каждой дисциплины — свои объекты изучения, свои методы познания реальной действительности. Алгебра, к изучению которой мы приступаем, даёт человеку возможность не только выполнять различные вычисления, по и учит его делать это как можно быстрее, рациональнее. Человек, владеющий алгебраическими методами, имеет преимущество перед теми, кто не владеет этими методами: он быстрее считает, успешнее ориентируется в жизненных ситуациях, чётче принимает решения, лучше мыслит. Наша задача — помочь вам овладеть алгебраическими методами, ваша задача — не противиться обучению, с готовностью следовать за нами, преодолевая возникающие трудности. На самом деле в младших классах вам уже приоткрыли окно в волшебный мир алгебры, ведь алгебра в первую очередь изучает числовые и алгебраические выражения. Напомним, что числовым выражением называют всякую запись, составленную из чисел и знаков арифметических действий (составленную, разумеется, со смыслом: например, 3 + 5-7 — числовое выражение, тогда как 3 + : — не числовое выражение, а бессмысленный набор символов). По некоторым причинам (о них мы будем говорить в дальнейшем) часто вместо конкретных чисел употребляются буквы (преимущественно из латинского алфавита), тогда получается алгебраическое выражение. Эти выражения могут быть очень громоздкими. Алгебра учит упрощать их, используя разные правила, законы, свойства, формулы. Найти значение числового выражения (2,73 +4,81 + 3,27 — 2,81) 25-37-0,4 Сейчас мы вместе с вами кое-что вспомним, и вы увидите, как много алгебраических фактов вы уже знаете. Прежде всего нужно выработать план осуществления вычислений. Для удобства введём следующие обозначения. Числитель данного дробного выражения обозначим буквой А, а знаменатель — буквой В: А = (2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81) : В = 25 • 37 • 0,4. В выражении А обозначим делимое буквой С, а делитель — буквой D. Тогда план наших действий будет выглядеть так: 1) найдём значение с выражения С; 2) найдём значение d выражения D; 3) разделив с на d, найдём значение а выражения А; 4) найдём значение b выражения В; 5) разделив а на В, найдём значение заданного числового выражения. Итак, план вычислений есть (а наличие плана — половина успеха!), приступим к его реализации. 1) С = 2,73 + 4,81 + 3,27 — 2,81. Конечно, можно считать подряд или, как иногда говорят, «в лоб»: 2,73 + 4,81, затем к этому числу прибавить 3,27, затем вычесть 2,81. Но культурный человек так вычислять не будет. Он вспомнит переместительный и сочетательный законы сложения (впрочем, ему их и не надо вспоминать, они у него всегда в голове) и будет вычислять так: Здесь нам придётся вспомнить, как действовать с обыкновенными дробями. Сначала надо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным 5 и 15 является число 15, оно и будет общим знаменателем. Для дроби получаем. Далее находим 3) Разделим с на d: 4) В = 25-37 ■ 0,4. Опять-таки можно проводить вычисления «и лоб», т. е. вычислить 25 • 37, затем то, что получится,, ум по жить на 0,4. Но думающий человек (а таким всегда является культурный человек) воспользуется переместительным и сочетательным законами умножения и будет вычислять так: 25 • 37 • 0,4 = (25 • 0,4) • 37 = 10 • 37 = 370. Итак, b = 370. 5) Осталось разделить числитель а на знаменатель Ь. Получим

А теперь вместе проанализируем, какие сведения из математики нам пришлось вспомнить в процессе решения примера (причём не просто вспомнить, но и использовать). 1. Порядок арифметических действий. 2. Переместительный закон сложения: а + b = b + а. 3. Переместительный закон умножения: ab = bа. 4. Сочетательный закон сложения: а + b + с = (а + b) + с = а + (Ь + с). 5. Сочетательный закон умножения: abc = (ab)c = а(bс). 6. Понятия обыкновенной дроби, десятичной дроби, отрицательного числа. 7. Арифметические операции с десятичными дробями. 8. Арифметические операции с обыкновенными дробями. 9. Основное свойство обыкновенной дроби: (значение дроби не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно умножить на одно и то же число или разделить на одно и то же число, отличное от нуля). Это свойство позволило нам преобразовать дробь — к виду — (числитель и знаменатель дроби — одновременно умножили на одно и то же число 3). Оно же позволило нам сократить дробь (числитель и знаменатель дроби одновременно разделили на одно и то же число 5). 10. Правила действий с положительными и отрицательными числами. Всё это вы знаете, но ведь всё это — алгебраические факты. Таким образом, некоторое знакомство с алгеброй у вас уже состоялось в младших классах. Основная трудность, как видно уже из примера 1, заключается в том, что таких фактов довольно много, причём их надо не только знать, но и уметь использовать, как говорят, «в нужное время и в нужном месте». Вот этому и будем учиться. И последнее, чтобы закончить обсуждение примера 1. То число, которое получается в результате упрощений числового выражения (в данном примере это было число ), называют значением числового выражения. И Алгебраические выражения Если дано алгебраическое выражение, то можно говорить о значении алгебраического выражения, но только при конкретных значениях входящих в него букв. Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т.е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными. Найти значение алгебраического выражения Решение а) Соблюдая порядок действий, последовательно находим: 1) а2 + 2аЬ + b2 = I2 + 2 • 1 • 2 + 22 = 1 + 4 + 4 = 9; 2) а + Ь=1 + 2 = 3; 3) а — b = 1 — 2 = -1; 4) (а + b)(а — Ь) = 3 • (-1) = -3; е-ч а2 + 2аЬ + й2 _ 9 _ о ’ (а + &)(а — Ь) -3 б) Аналогично, соблюдая порядок действий, последовательно находим: в) Снова, соблюдая порядок действий, последовательно находим: Смотрите, знаменатель равен нулю, а на нуль делить нельзя! Что это значит в данном случае (и в других аналогичных случаях)? Это значит, что при а — b = — заданное алгебраическое выражение не имеет смысла. Используется такая терминология: если при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение имеет числовое значение, то указанные значения переменных называют допустимыми; если же при конкретных значениях букв (переменных) алгебраическое выражение не имеет смысла, то указанные значения переменных называют недопустимыми. Так, в примере 2 значения а = 1 и 6 = 2, а — 3,7 и b = -1,7 — допустимые, тогда как значения а и b  — недопустимые (более точно: первые две пары значений — допустимые, а третья пара значений — недопустимая). Вообще в примере 2 недопустимыми будут такие значения переменных а, Ь, при которых либо а + b = 0, либо а — b = 0. Например, а = 7, b = -7 или а = 28,3, b = 28,3 — недопустимые пары значений; в первом случае а + Ь = 0, а во втором случае а — b = 0. В обоих случаях знаменатель заданного в этом примере выражения обращается в нуль, а на нуль, повторим ещё раз, делить нельзя. Теперь, наверное, вы и сами сможете придумать как допустимые пары значений для переменных а, Ь, так и недопустимые пары значений этих переменных в примере 2. Попробуйте! Пример 2в) на самом деле мы решали плохо (некультурно), поскольку сделали ряд лишних, ненужных вычислений. Надо было сразу заметить, что при а — и b — — знаменатель обращается в нуль, и объявить: выражение не имеет смысла! Но, как говорится, сразу замечает тот, кто знает, что надо замечать. Этому и учит алгебра. Если бы мы с вами решали пример 2 позднее, то сделали бы это лучше. Мы бы смогли преобразовать выражение к более простому виду , а тогда, согласитесь, гораздо проще было бы и вычислять. А вот почему верно равенство пока мы сказать не можем. На этот вопрос ответим позднее (см. § 41).

Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте определение числового выражения. 2. Приведите три примера числового выражения. 3. Что называют алгебраическим выражением? 4. Используя переменные тип, составьте два алгебраических выражения. 5. Что такое значение числового выражения? 6. Что такое значение алгебраического выражения? 7. Найдите значение выражения — — при х = 1, х = 2,5. 8. Сформулируйте переместительный закон сложения. 9. Сформулируйте переместительный закон умножения. 10. Сформулируйте сочетательный закон сложения. 11. Сформулируйте сочетательный закон умножения. 12. Сформулируйте основное свойство дроби. 13. В чём состоит правило сложения отрицательных чисел? 14. В чём состоит правило сложения чисел с разными знаками? 15. Как вы понимаете фразу: «Заданное алгебраическое выражение не имеет смысла»? Приведите пример такого выражения. 16. Какие значения переменных называют допустимыми? 17. Какие значения переменных называют недопустимыми?